Để chứng minh a) và b), ta sẽ sử dụng định lí Thales và định lí Ceva trong tam giác.

a) Ta có MN là đường trung bình của tam giác ABC, nên theo định lí Thales, ta có:
$\frac{AM}{MB} = \frac{AN}{NC} = \frac{1}{1} = 1$
Do đó, ta có $AM = MB$ và $AN = NC$.

Gọi I là giao điểm của AC và BD. Ta có:
$\frac{AI}{IC} = \frac{AM}{MB} = 1$
Do đó, ta có $AI = IC$.

Khi đó, ta có tứ giác AICM là hình bình hành, nên ta có $AE = CF$.

Vậy, ta có AE = CF.

b) Ta sử dụng định lí Ceva trong tam giác ABC. Áp dụng định lí Ceva cho tam giác ABC với điểm P trên đường thẳng AD, ta có:
$\frac{PA}{PD} \cdot \frac{ND}{NC} \cdot \frac{MC}{MA} = 1$
Vì $ND = \frac{1}{2}NC$ và $MC = \frac{1}{2}MA$, nên ta có:
$\frac{PA}{PD} \cdot \frac{1}{2} \cdot 2 = 1$
$\Rightarrow PA = PD$

Tương tự, áp dụng định lí Ceva cho tam giác ABC với điểm Q trên đường thẳng BC, ta có:
$\frac{QA}{QB} \cdot \frac{NB}{NC} \cdot \frac{MC}{MA} = 1$
Vì $NB = \frac{1}{2}NC$ và $MC = \frac{1}{2}MA$, nên ta có:
$\frac{QA}{QB} \cdot \frac{1}{2} \cdot 2 = 1$
$\Rightarrow QA = QB$

Vậy, ta có $\frac{PA}{PD} = \frac{QC}{QB}$.

Vậy, ta có $\frac{PA}{PD} = \frac{QC}{QB}$.