Cho (O) đường kính AB=2R, C là trung điểm AB, M là điểm thuộc (O) sao cho MA>MB. Đường thẳng MC cắt (O) tại D, đường thẳng qua D vuông góc với AB cắt (O) tại E. đường thẳng ME cắt AB tại F

a) Ta có C là trung điểm của đường AB nên AC = BC = R. Vì MA > MB nên M nằm giữa A và C. Khi đó, ta có tam giác AMC là tam giác vuông tại M. Vì vậy, theo định lý Pythagoras, ta có:

AM^2 + MC^2 = AC^2

Vì AC = R, nên ta có:

AM^2 + MC^2 = R^2

Vì tam giác AMC là tam giác vuông tại M, nên ta có:

AM^2 = AO^2 - MO^2

MC^2 = MO^2 - CO^2

Thay vào biểu thức trên, ta có:

AO^2 - MO^2 + MO^2 - CO^2 = R^2

AO^2 - CO^2 = R^2

Vì CO = R/2 (vì C là trung điểm của AB), nên ta có:

AO^2 - (R/2)^2 = R^2

AO^2 - R^2/4 = R^2

AO^2 = 5R^2/4

Vậy, ta có AF = AO.

b) Ta có tam giác MDE và tam giác MHN là hai tam giác đồng dạng (do có hai góc vuông và góc giữa hai đường thẳng song song là bằng nhau). Vì vậy, ta có:

DE/MN = ME/NH

Ta cũng có:

DE = 2R (vì D là điểm trên đường tròn (O) và E là giao điểm của đường thẳng vuông góc với AB và (O))

MN = 2R (vì N là điểm trên đường tròn (O))

Thay vào biểu thức trên, ta có:

2R/2R = ME/NH

1 = ME/NH

Vậy, ta có F, D, N thẳng hàng.

c) Ta có tam giác MEF và tam giác MCH là hai tam giác đồng dạng (do có hai góc vuông và góc giữa hai đường thẳng song song là bằng nhau). Vì vậy, ta có:

EF/CH = ME/MC

Ta cũng có:

EF = MC (vì EF = MC theo giả thiết)

ME = 2R (vì E là giao điểm của đường thẳng vuông góc với AB và (O))

MC = R (vì M là điểm trên đường tròn (O))

Thay vào biểu thức trên, ta có:

MC/CH = 2R/R

1/CH = 2

CH = 1/2

Vậy, ta có CH = 1/2R.