a) Khi m = 2013, ta có phương trình x^2 - 2013x + 2012 = 0. Để giải phương trình này, ta có thể sử dụng công thức Viết để tìm nghiệm.

Đầu tiên, tính delta của phương trình: Δ = b^2 - 4ac = (-2013)^2 - 4(1)(2012) = 4052169 - 8048 = 4044121.

Tiếp theo, ta tính căn bậc hai của delta: √Δ = √4044121 ≈ 2010.02.

Cuối cùng, ta sử dụng công thức Viết để tìm nghiệm của phương trình: x = (-b ± √Δ) / (2a) = (2013 ± 2010.02) / 2.

Vậy phương trình x^2 - 2013x + 2012 = 0 có hai nghiệm x1 ≈ 1.5 và x2 ≈ 2011.5.

b) Để chứng tỏ phương trình (1) luôn có nghiệm x1, x2 với mọi m, ta sẽ chứng minh rằng delta của phương trình luôn lớn hơn hoặc bằng 0.

Delta của phương trình (1) là Δ = m^2 - 4(m - 1) = m^2 - 4m + 4.

Để chứng minh Δ ≥ 0, ta cần chứng minh rằng m^2 - 4m + 4 ≥ 0.

Điều này tương đương với (m - 2)^2 ≥ 0, điều này luôn đúng với mọi m.

Vậy phương trình (1) luôn có nghiệm x1, x2 với mọi m.

c) Để phương trình (1) có nghiệm kép, ta cần chứng minh rằng delta của phương trình bằng 0.

Delta của phương trình (1) là Δ = m^2 - 4(m - 1) = m^2 - 4m + 4.

Để Δ = 0, ta cần giải phương trình m^2 - 4m + 4 = 0.

Phương trình này có nghiệm kép m = 2.

Để tìm nghiệm kép của phương trình (1), ta sử dụng công thức Viết: x = (-b ± √Δ) / (2a) = (m ± 0) / 2 = m/2.

Vậy nghiệm kép của phương trình (1) với m = 2 là x = 1.

d) Để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 phân biệt thỏa (x1 + x2)^2 - 8x1x2 = 8, ta cần chứng minh rằng delta của phương trình lớn hơn 0 và (x1 + x2)^2 - 8x1x2 = 8.

Delta của phương trình (1) là Δ = m^2 - 4(m - 1) = m^2 - 4m + 4.

Để Δ > 0, ta cần chứng minh rằng m^2 - 4m + 4 > 0.

Điều này tương đương với (m - 2)^2 > 0, điều này luôn đúng với mọi m khác 2.

Tiếp theo, ta chứng minh điều kiện (x1 + x2)^2 - 8x1x2 = 8.

Thay x1 + x2 = m và x1x2 = m - 1 vào điều kiện trên, ta có:

(m)^2 - 8(m - 1) = 8.

m^2 - 8m + 8 = 8.

m^2 - 8m = 0.

m(m - 8) = 0.

Vậy phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 phân biệt thỏa (x1 + x2)^2 - 8x1x2 = 8 khi m = 0 hoặc m = 8.