Trên nửa đường tròn đường kính AB = 2R không đổi

Để chứng minh a) ta sẽ sử dụng tính chất của góc nội tiếp và góc ngoại tiếp.

a) Ta có:
- Góc MNC là góc nội tiếp nằm trên cung AM, nên góc MNC = góc MAN.
- Góc MHC là góc ngoại tiếp nằm trên cung AM, nên góc MHC = 180° - góc MAN.
- Góc MHC = 180° - góc MAN = góc MNC.

Vậy ta có góc MNC = góc MHC, suy ra tứ giác CMHN là tứ giác nội tiếp.

b) Ta có:
- Góc MHC là góc ngoại tiếp nằm trên cung AM, nên góc MHC = 180° - góc MAN.
- Góc MHC = 180° - góc MAN = góc MNC.

Vậy ta có góc MHC = góc MNC, suy ra tứ giác CMHN là tứ giác cân tại C.

Do đó, ta có:
- AM.AC = CM.AH (vì tứ giác CMHN là tứ giác cân tại C)
- BN.BC = CN.BH (vì tứ giác CMHN là tứ giác cân tại C)

Vậy AM.AC + BN.BC = CM.AH + CN.BH = CH.(AM + BN) (vì CM = CN)

Từ đó suy ra AM.AC + BN.BC = CH.(AM + BN) = CH.AB (vì AM + BN = AB)

Vậy AM.AC + BN.BC = CH.AB = 2R.CH (vì AB = 2R)

Vậy AM.AC + BN.BC = 2R.CH, tức là AM.AC + BN.BC không đổi.