Cho tứ diện ABCD

a) Gọi F là giao điểm của IJ và (BCD). Ta có:
- Vì I là trung điểm của AB nên IJ song song với CD.
- Vì J là trung điểm của AD nên JF = JD.
- Vì AD = 3JD nên AJ = 2JD.
- Vì IJ song song với CD nên tứ giác AJCF là tứ giác cân.
Do đó, ta có AJ = CF và JF = JD = JC.
Từ đó, ta có AJ = CF = 2JD = 2JC.
Vậy tứ giác AJCF là tứ giác bằng nhau hai cạnh liên tiếp, nên tứ giác AJCF là hình vuông.
Do đó, F là giao điểm của đường chéo AC và BD.

b) Gọi E là giao điểm của (IJK) và đường thẳng BC. Ta có:
- Vì I là trung điểm của AB nên IE song song với BC.
- Vì J là trung điểm của AD nên JI song song với BC.
- Vì IJ song song với CD nên IJ song song với BC.
Do đó, ta có IE || JI || IJ || BC.
Vậy tứ giác IJEC là tứ giác bằng nhau hai cạnh đối diện, nên tứ giác IJEC là hình chữ nhật.
Từ đó, ta có EB = IC và EC = IJ.
Vậy tỉ số EB/EC = IC/IJ.

c) Ta có:
- Gọi H là giao điểm của AC và KJ.
- Vì I là trung điểm của AB nên IJ song song với CD.
- Vì J là trung điểm của AD nên JH song song với CD.
- Vì K là trung điểm của CD nên KH song song với AB.
Do đó, ta có IJ || JH || KH || CD.
Vậy ba đường thẳng AC, KJ, IE đồng quy tại điểm H.

Từ đó, ta có HC/HA = KC/KA = 1/2.

d) Ta có:
- Vì I là trung điểm của AB nên IK song song với BD.
- Vì J là trung điểm của AD nên HJ song song với BD.
- Vì IJ song song với CD nên IJ song song với BD.
Do đó, ta có IK || HJ || IJ || BD.
Vậy EJ || HF.
- Vì I là trung điểm của AB nên IK đi qua trung điểm của HF.