Cho (O), tam giác ABC nội tiếp (O). Cho đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H đường thẳng EF cắt BC tại I (không đi qua H), IA cắt (O) tại N. Chứng minh HN vuông tại AI

Để chứng minh HN vuông tại AI, ta sẽ sử dụng tính chất của đường cao và đường trung trực.

Vì AD là đường cao của tam giác ABC, nên AH vuông góc với BC.
Vì BE là đường cao của tam giác ABC, nên BH vuông góc với AC.
Vì CF là đường cao của tam giác ABC, nên CH vuông góc với AB.

Ta có thể thấy rằng tam giác ABC có 3 đường cao cắt nhau tại H, nên H là trung điểm của các đoạn thẳng AD, BE và CF.

Vậy ta có AH = BH = CH.

Giả sử ta kẻ đường thẳng qua N và song song với BC, cắt đường cao AD tại M.

Vì AH = BH = CH, nên tam giác ABC là tam giác đều.
Vì tam giác ABC là tam giác đều, nên đường trung trực của BC cũng là đường cao của tam giác ABC.
Vậy ta có AM vuông góc với BC.

Vì N nằm trên đường thẳng song song với BC, nên ta có MN vuông góc với BC.

Vậy ta có AM vuông góc với BC và MN vuông góc với BC, nên ta có AM // MN.

Vì AH là đường cao của tam giác ABC, nên AH cắt MN tại I.

Vậy ta có AI // MN.

Vì AI // MN và MN vuông góc với BC, nên ta có AI vuông góc với BC.

Vậy ta đã chứng minh được rằng HN vuông tại AI.