Cho tam giác ABC vuông tại A, gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC

Để chứng minh tứ giác AMIP là hình vuông, ta cần chứng minh AM = MP và AM vuông góc với MP.

Vì I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC, nên theo tính chất của đường tròn nội tiếp, ta có:
∠BIC = 2∠BAC (1)
∠CIA = 2∠CBA (2)
∠AIB = 2∠ACB (3)

Vì tam giác ABC là tam giác vuông tại A, nên ∠BAC = 90°. Kết hợp với (1), ta có:
∠BIC = 2∠BAC = 180° - ∠BAC = 180° - ∠BIC
⇒ ∠BIC = 90°

Tương tự, ta cũng có ∠CIA = 90° và ∠AIB = 90°.

Do đó, ta có tứ giác AMIP là tứ giác nội tiếp đường tròn (I) và có 4 góc vuông (AM vuông góc với MP, AI vuông góc với MI, MP vuông góc với PI, IP vuông góc với AM). Vì vậy, tứ giác AMIP là hình vuông.