a. Ta có BD = BC (điều kiện đề bài), BE là phân giác của góc ABC nên tam giác DBE và tam giác CBE có cạnh chung BE và góc B bằng nhau (do là phân giác). Do đó, theo trường hợp cạnh - góc - cạnh, ta có tam giác DBE = tam giác CBE.

b. Ta có BF là phân giác của góc ABC nên tam giác DBF và tam giác CBF có cạnh chung BF và góc B bằng nhau (do là phân giác). Do đó, theo trường hợp cạnh - góc - cạnh, ta có tam giác DBF = tam giác CBF. Từ đó, ta có DF = CF.

c. Ta có AH là đường cao của tam giác ABC nên AH vuông góc với BC. Ta cần chứng minh AH || BF, tức là AH và BF không cắt nhau. Giả sử AH và BF cắt nhau tại điểm G. Khi đó, ta có:

- Tam giác ABG và tam giác ACG có cạnh chung AG và góc G bằng nhau (do là phân giác).
- Tam giác ABG và tam giác ACG có cạnh AB và AC bằng nhau (do AB = AC theo đề bài).
- Tam giác ABG và tam giác ACG có cạnh BG và CG bằng nhau (do BG = CG theo định lý cạnh bằng cạnh).

Từ các điều trên, ta có thể kết luận rằng tam giác ABG và tam giác ACG là hai tam giác đồng dạng (do có hai cạnh bằng nhau và góc giữa chúng bằng nhau). Từ đó, ta có AG/AB = AC/AG (do tỷ lệ cạnh đồng dạng) => AG^2 = AB*AC.

Tuy nhiên, theo định lý cạnh - đường cao, ta có AH^2 = AB*AC. Vậy AG^2 = AH^2 => AG = AH. Điều này cho thấy AH và BF không cắt nhau và do đó AH || BF.

d. Để DE vuông góc với BC, ta cần chứng minh rằng tam giác DBE và tam giác DCE là hai tam giác đồng dạng. Ta có:

- Tam giác DBE và tam giác DCE có cạnh chung DE và góc E bằng nhau (do DE là phân giác của góc ABC).
- Tam giác DBE và tam giác DCE có cạnh BE và CE bằng nhau (do BD = BC theo đề bài).

Từ các điều trên, ta có thể kết luận rằng tam giác DBE và tam giác DCE là hai tam giác đồng dạng (do có hai cạnh bằng nhau và góc giữa chúng bằng nhau).