Xác định m để hàm số f(x)=mx+5/x+1 đồng biến trên (-1;+∞)

Để hàm số f(x) = mx + 5/(x + 1) đồng biến trên (-1; +∞), ta cần xác định điều kiện để đạo hàm của hàm số này luôn không âm trên đoạn (-1; +∞).

Đạo hàm của f(x) theo x là:
f'(x) = m - 5/(x + 1)²

Để f'(x) không âm trên đoạn (-1; +∞), ta cần điều kiện:
m - 5/(x + 1)² ≥ 0

Đặt u = x + 1, ta có:
m - 5/u² ≥ 0

Để giải phương trình này, ta nhân cả 2 vế với u² (vì u > 0 trên đoạn (-1; +∞)):
m * u² - 5 ≥ 0

Điều kiện để phương trình này đúng là:
m ≥ 5/u²

Với u > 0, ta có u² > 0, do đó điều kiện trên đúng với m bất kỳ.

Vậy, để hàm số f(x) = mx + 5/(x + 1) đồng biến trên đoạn (-1; +∞), không có điều kiện đặt cho m.