a) Để hàm số (1) là hàm số bậc nhất, ta cần xác định điều kiện của m để hệ số của x là khác 0. Tức là m-1 ≠ 0. Giải phương trình này ta có:

m - 1 ≠ 0
⇒ m ≠ 1

Vậy điều kiện để hàm số (1) là hàm số bậc nhất là m ≠ 1.

b) Đồ thị của hàm số (1) song song với đồ thị của hàm số y = -2x + 1 khi và chỉ khi hệ số góc của hai hàm số bằng nhau. Tức là:

m - 1 = -2
⇒ m = -1

Vậy giá trị của m để đồ thị của hàm số (1) song song với đồ thị hàm số y = -2x + 1 là m = -1.

c) Đồ thị của hàm số (1) đi qua điểm A(1, -4) khi và chỉ khi thay x = 1 và y = -4 vào phương trình hàm số (1) ta được:

-4 = (m - 1)(1) + m + 3
⇒ -4 = m - 1 + m + 3
⇒ -4 = 2m + 2
⇒ 2m = -6
⇒ m = -3

Vậy giá trị của m để đồ thị của hàm số (1) đi qua điểm A(1, -4) là m = -3.

d) Để đồ thị của hàm số (1) luôn đi qua một điểm cố định với mọi m, ta cần xác định điểm cố định đó. Ta thấy rằng khi x = 0, ta có:

y = (m - 1)(0) + m + 3
⇒ y = m + 3

Vậy điểm cố định là (0, m + 3).