Để a^2 + a + 1 là bội của a - 2, ta cần tìm các giá trị nguyên a sao cho phương trình sau đúng:

a^2 + a + 1 = k(a - 2)

Trong đó k là một số nguyên.

Mở ngoặc và đưa các thành phần về cùng một phía, ta có:

a^2 + a + 1 = ka - 2k

a^2 + (1 - k)a + (1 + 2k) = 0

Để phương trình trên có nghiệm nguyên a, ta cần delta của phương trình là một số chính phương. Delta của phương trình là:

Δ = (1 - k)^2 - 4(1 + 2k) = 1 - 2k + k^2 - 4 - 8k = k^2 - 10k - 3

Để Δ là một số chính phương, ta cần tìm các giá trị nguyên k sao cho k^2 - 10k - 3 là một số chính phương.

Để giải phương trình k^2 - 10k - 3 = m^2, ta có thể sử dụng phương pháp hoàn thiện khối vuông. Ta thêm 25 vào cả hai vế của phương trình:

k^2 - 10k - 3 + 25 = m^2 + 25

k^2 - 10k + 22 = m^2 + 25

(k - 5)^2 + 22 = m^2 + 25

(k - 5)^2 - (m^2 + 3) = 0

Đặt x = k - 5 và y = m^2 + 3, ta có:

x^2 - y = 0

Đây là phương trình của một hình parabol. Để phương trình có nghiệm nguyên, ta cần y là một số chính phương.

Ta kiểm tra các giá trị nguyên từ -3 đến 22 để tìm các giá trị của y là số chính phương. Ta tìm được các giá trị y = 0, 1, 4, 9, 16. Tương ứng với các giá trị y này, ta có các giá trị x = ±√y.

Vậy các giá trị nguyên a tương ứng là:

a = x + 5 hoặc a = -x + 5

a = √0 + 5 = 5 hoặc a = -√0 + 5 = 5

a = √1 + 5 = 6 hoặc a = -√1 + 5 = 4

a = √4 + 5 = 7 hoặc a = -√4 + 5 = 3

a = √9 + 5 = 8 hoặc a = -√9 + 5 = 2

a = √16 + 5 = 9 hoặc a = -√16 + 5 = 1

Vậy tổng tất cả các giá trị nguyên a là 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 4 + 3 + 2 + 1 = 45.