Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn.Các đuờng cao AD,BE,CF cắt nhau tại H. Chứng minh:

a) Ta có:
- Trong tam giác AHB, ta có: AH là đường cao nên AH.AD = BH.HD (1)
- Trong tam giác AFB, ta có: AF là đường cao nên AF.AB = BF.HF (2)
- Trong tam giác AEC, ta có: AE là đường cao nên AE.AC = CE.HE (3)
Từ (1), (2), (3), suy ra: AF.AB = AH.AD = AE.AC

b) Ta có:
- Trong tam giác AHD, ta có: AH là đường cao nên AH.AD = DH.HD (4)
- Trong tam giác BHD, ta có: BH là đường cao nên BH.BD = DH.HD (5)
- Trong tam giác CHD, ta có: CH là đường cao nên CH.CD = DH.HD (6)
Từ (4), (5), (6), suy ra: DH.DA = DB.DC

c) Ta có:
- Trong tam giác BHF, ta có: BH là đường cao nên BH.BF = HF.HB (7)
- Trong tam giác BAF, ta có: BA là đường cao nên BA.BF = AF.AB (8)
- Trong tam giác BDE, ta có: BD là đường cao nên BD.BE = DE.BD (9)
- Trong tam giác BCD, ta có: BC là đường cao nên BC.BE = CE.BC (10)
Từ (7), (8), (9), (10), suy ra: BF.BA = BH.BE = BD.BC

d) Ta có:
- Trong tam giác BHF, ta có: BH là đường cao nên BH.BF = HF.HB (11)
- Trong tam giác CHF, ta có: CH là đường cao nên CH.CF = HF.HC (12)
- Trong tam giác AHD, ta có: AH là đường cao nên AH.AD = HD.HA (13)
- Trong tam giác BHD, ta có: BH là đường cao nên BH.BD = HD.HB (14)
- Trong tam giác CHD, ta có: CH là đường cao nên CH.CD = HD.HC (15)
Từ (11), (12), (13), (14), (15), suy ra: HB.HE = HC.HF = HA.HD

e) Ta có:
- Trong tam giác BCF, ta có: BH là đường cao nên BH.BC = CH.CF (16)
- Trong tam giác BAE, ta có: BH là đường cao nên BH.BE = AE.BH (17)
- Trong tam giác AEC, ta có: CH là đường cao nên CH.CE = AE.CH (18)
Từ (16), (17), (18), suy ra: BH.BE + CH.CF = BC

f) Ta có:
- Trong tam giác BHD, ta có: BH là đường cao nên BH.BD = HD.HB (19)
- Trong tam giác CHD, ta có: CH là đường cao nên CH.CD = HD.HC (20)
Từ (19), (20), suy ra: DB.DC = DH.DA