Tính nhanh biểu thức sau :

Để tính nhanh biểu thức Q(x), ta có thể nhóm các thành phần có cùng mẫu số và rút gọn biểu thức.

Q(x) = 1/(x^2 - 1) + 1/(x^2 + 4x + 3) + 1/(x^2 + 8x + 15) + 1/(x^2 + 12x + 35)

Đầu tiên, ta nhận thấy rằng các mẫu số đều có dạng (x^2 + bx + c), với b và c là các số nguyên. Ta có thể phân tích thành các thừa số như sau:

x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)
x^2 + 4x + 3 = (x + 1)(x + 3)
x^2 + 8x + 15 = (x + 3)(x + 5)
x^2 + 12x + 35 = (x + 5)(x + 7)

Thay các phân tích trên vào biểu thức Q(x), ta có:

Q(x) = 1/[(x - 1)(x + 1)] + 1/[(x + 1)(x + 3)] + 1/[(x + 3)(x + 5)] + 1/[(x + 5)(x + 7)]

Tiếp theo, ta nhân tử số và mẫu của từng phân số để có cùng mẫu số:

Q(x) = [(x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + (x - 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + (x - 1)(x + 1)(x + 5)(x + 7) + (x - 1)(x + 1)(x + 3)(x + 5)] / [(x - 1)(x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7)]

Tiếp theo, ta cộng các tử số lại với nhau:

Q(x) = [(x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + (x - 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + (x - 1)(x + 1)(x + 5)(x + 7) + (x - 1)(x + 1)(x + 3)(x + 5)] / [(x - 1)(x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7)]

= [4(x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7)] / [(x - 1)(x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7)]

= 4 / (x - 1)

Vậy, giá trị của biểu thức Q(x) là 4 / (x - 1).