Chứng minh B, E, M thẳng hàng

Để chứng minh CM || BE || M, ta sẽ sử dụng các định lí sau:

1. Đường tiếp tuyến tại điểm C của đường tròn tâm O là đối tượng đối xứng của đường thẳng AB qua tâm O.
2. Đường tiếp tuyến tại điểm A của đường tròn tâm O là đối tượng đối xứng của đường thẳng AB qua tâm O.
3. Đường thẳng đi qua trung điểm I của BC và vuông góc với AB cắt đường tròn tại điểm N, thì N là trung điểm của MC.
4. Đường thẳng đi qua trung điểm E của CH và vuông góc với AB cắt đường tròn tại điểm H, thì H là trung điểm của CM.

Chứng minh:

- Do đường tiếp tuyến tại C và A cắt nhau tại M, nên theo định lí 1 và 2, ta có: CM || BE.
- Gọi G là giao điểm của BC và AM. Ta có: (BCGM) = -1 (do (BCGM) là tứ giác điều hòa).
- Theo định lí 3, ta có: N là trung điểm của MC.
- Theo định lí 4, ta có: H là trung điểm của CM.
- Vì N là trung điểm của MC và H là trung điểm của CM, nên ta có: NH || BC và NH = 1/2BC.
- Vì H là trung điểm của CM và E là trung điểm của CH, nên ta có: HE || CM và HE = 1/2CM.
- Vậy ta có: NH || BC || HE và NH = 1/2BC = HE = 1/2CM.
- Do đó, ta có: CM || BE || M.

Vậy ta đã chứng minh được rằng CM || BE || M.