Cho ∆ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O, với AB; AC. Gọi BM và CN là các đường cao của ∆ABC. Các tiếp tuyến với đường tròn tại B và C cắt nhau tại D, các đường thẳng BC và OD cắt nhau tại I. Chứng minh: Tứ giác BCMN nội tiếp và OD ..

a) Ta có:
- Góc BMC = 90° (do BM là đường cao của ∆ABC)
- Góc BNC = 90° (do CN là đường cao của ∆ABC)
=> Tứ giác BCMN nội tiếp trong đường tròn ngoại tiếp (vì tổng hai góc đối diện bằng 180°).
- Góc BOC = 2 * góc BDC (do OB và OC là tiếp tuyến của đường tròn tại B và C)
- Góc BDC = góc BAC (cùng chắn cung BC trên đường tròn)
=> Góc BOC = 2 * góc BAC
- Góc BOC = 2 * góc BIC (do OB và OC là tiếp tuyến của đường tròn tại B và C)
=> Góc BIC = góc BAC/2
=> Góc BIC = góc BOC/2
=> Góc BIC = 90° (do góc BOC = 180° - góc BAC)
=> OD vuông góc BC.

b) Ta có:
- Góc BDC = góc BAC (cùng chắn cung BC trên đường tròn)
- Góc BDC = góc BAC = góc BAI (do AD là tiếp tuyến của đường tròn tại D)
=> ∆ABD đồng dạng với ∆AMI (do có hai góc bằng nhau).

Theo định lý đồng dạng, ta có:
- MA/AB = AI/BD (do ∆ABD đồng dạng với ∆AMI)
- AI/AB = IB/BD (do ∆ABI đồng dạng với ∆BID)
=> MA/AB = IB/BD
=> MA.DB = IB.AB.

c) Ta có:
- Góc BDC = góc BAC (cùng chắn cung BC trên đường tròn)
- Góc BDC = góc BAC = góc BAI (do AD là tiếp tuyến của đường tròn tại D)
=> ∆ABD đồng dạng với ∆AMI (do có hai góc bằng nhau).

Theo định lý đồng dạng, ta có:
- MA/AB = AI/BD (do ∆ABD đồng dạng với ∆AMI)
- AI/AB = IB/BD (do ∆ABI đồng dạng với ∆BID)
=> MA/AB = IB/BD
=> MA.DB = IB.AB.

Gọi K' là giao điểm của KP và BC. Ta cần chứng minh K' trùng với K.

Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác ABC và đường thẳng KP, ta có:
(KA/AB) * (BP/PC) * (CK/KA) = 1
=> (KA/AB) * (BP/PC) = 1
=> KA/AB = PC/BP

Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác ABC và đường thẳng AI, ta có:
(KA/AB) * (BP/PC) * (CI/IA) = 1
=> (KA/AB) * (BP/PC) = IA/CI

So sánh hai biểu thức trên, ta có:
PC/BP = IA/CI
=> PC/IA = BP/CI

Vậy, theo định lý đồng dạng, ta có ∆PCI đồng dạng với ∆BIC.
=> Góc K'PC = góc BIC = 90° (do OD vuông góc BC)
=> K'P vuông góc BC.

Vậy KP vuông góc BC.