Để chứng minh BH.BE + CH.CF = BC^2, ta sử dụng định lí Ptolemy trong tam giác ABC.

Theo định lí Ptolemy, trong một tứ giác nội tiếp đủ, tổng tích của hai đường chéo bằng tích của hai đường cạnh đối diện:

AC.BD + AD.BC = AB.CD

Áp dụng định lí Ptolemy vào tam giác ABC, ta có:

AC.BH + AD.BC = AB.CH

Tương tự, áp dụng định lí Ptolemy vào tam giác ACF, ta có:

AB.CH + AF.BC = AC.HF

Kết hợp hai phương trình trên, ta có:

AC.BH + AD.BC + AB.CH + AF.BC = AC.HF

Điều này tương đương với:

AC.BH + AB.CH = AC.HF - AD.BC + AF.BC

Vì AC.HF = AD.CF và AB.AF = AD.BE, nên ta có:

AC.BH + AB.CH = AD.CF - AD.BC + AD.BE

Simplifying, ta có:

AC.BH + AB.CH = AD.(CF - BC + BE)

Vì AD là đường cao của tam giác ABC, nên CF - BC + BE = 0. Do đó, ta có:

AC.BH + AB.CH = AD.0 = 0

Từ đó suy ra:

AC.BH + AB.CH = 0

Mà AC và AB không bằng 0, nên ta có:

BH + CH = 0

Từ đó suy ra:

BH.BE + CH.CF = BH.(BE + CF) = BH.BC

Vậy ta đã chứng minh được BH.BE + CH.CF = BC^2.

Hệ số tương ứng là BH và CH.