Cho tam giác ABC có góc A=90 độ và góc C=45 độ. Trên cạnh AB lấy điểm D, trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AD=AE. Các đường vuông góc với CD vẽ từ A và E lần lượt cắt cạnh BC ở G và H. Chứng minh rằng: BG=GH

Gọi M là trung điểm của DE. Ta có:
- Vì tam giác ABC có góc A=90 độ và góc C=45 độ, nên tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A.
- Vì AD=AE, nên tam giác ADE là tam giác cân tại A.
- Vì M là trung điểm của DE, nên AM là đường trung bình của tam giác ADE.
Do đó, AM vuông góc với DE và cắt DE tại M.
- Gọi N là giao điểm của AM và CD. Ta có:
+ Vì AM vuông góc với DE, nên AM vuông góc với CD.
+ Vì tam giác ADE là tam giác cân tại A, nên AM là đường trung bình của tam giác ADE.
Do đó, N là trung điểm của CD.
- Gọi P là giao điểm của AM và BG. Ta có:
+ Vì AM vuông góc với DE, nên AM vuông góc với BG.
+ Vì tam giác ADE là tam giác cân tại A, nên AM là đường trung bình của tam giác ADE.
Do đó, P là trung điểm của BG.
- Gọi Q là giao điểm của AM và GH. Ta có:
+ Vì AM vuông góc với DE, nên AM vuông góc với GH.
+ Vì tam giác ADE là tam giác cân tại A, nên AM là đường trung bình của tam giác ADE.
Do đó, Q là trung điểm của GH.
- Vì N là trung điểm của CD và P là trung điểm của BG, nên NP song song với PG.
- Vì N là trung điểm của CD và Q là trung điểm của GH, nên NQ song song với QH.
- Vì NP song song với PG và NQ song song với QH, nên NPQH là hình bình hành.
- Vì NPQH là hình bình hành, nên NP=QH.
- Vì P là trung điểm của BG và Q là trung điểm của GH, nên PQ=GH.
Từ NP=QH và PQ=GH, suy ra NP=QH=PQ=GH.
Vậy ta có BG=GH.