Trong hình vẽ bên có NA = 2NB ; MC = 2MB và diện tích tam giác AON là 8cm²

Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng các kiến thức về tỉ lệ diện tích tam giác và tỉ lệ cạnh của tam giác.

a) Ta có NA = 2NB và MC = 2MB. Vì NA = 2NB, ta có thể coi tam giác NAB là tam giác đều. Từ đó, ta có AN = AB và góc NAB = 60 độ. Vì MC = 2MB, ta có thể coi tam giác MCB là tam giác đều. Từ đó, ta có MC = MB và góc MCB = 60 độ.

Vì góc NAB = góc MCB = 60 độ, ta có thể kết luận rằng tam giác NAB và tam giác MCB là hai tam giác đồng dạng. Vì vậy, tỉ lệ diện tích giữa hai tam giác này bằng bình phương tỉ lệ cạnh tương ứng.

Từ đó, ta có:
Diện tích tam giác NOB / Diện tích tam giác MCB = (NO/MB)²
Diện tích tam giác NOB / 8 = (NO/MB)²
Diện tích tam giác NOB = 8 * (NO/MB)²

Vì NA = 2NB, ta có NO = NA - AO = 2NB - AO = 2NB - (AB - BO) = 2NB - AB + BO = 2NB - AN + BO = 2NB - NA + BO = NB + BO
Vì MC = 2MB, ta có MB = MC/2 = 2MB/2 = MB

Thay vào công thức trên, ta có:
Diện tích tam giác NOB = 8 * ((NB + BO)/MB)² = 8 * ((NB + BO)/NB)²

b) Từ tỉ lệ diện tích tam giác, ta có:
S AOB / S AOC = (AOB/BOC) = (AO/BO) * (AB/BC) = (AO/BO) * (AN/NC)

Vì NA = 2NB, ta có AN/NC = 2NB/NC = 2NB/(NB + BC) = 2NB/NB = 2

Vì MC = 2MB, ta có AO/BO = AO/MB = AO/(MC/2) = 2AO/MC

Thay vào công thức trên, ta có:
S AOB / S AOC = (AO/BO) * (AN/NC) = (2AO/MC) * 2 = 4AO/MC

Để tính được diện tích tam giác NOB và tỉ số S AOB phần S AOC, ta cần biết thêm giá trị của BO và AO.