Cho tam giác ABC vuông đỉnh A, có góc C=30 kẻ tia phân giác BI của góc ABC (I thuộc AC)

Để chứng minh các phần a), b), c), d), ta sẽ sử dụng các định lí trong hình học tam giác và góc.

a) Ta có góc C = 30 độ, góc ABC = 90 độ, do đó góc BAC = 180 - 90 - 30 = 60 độ.
Vì I là trung điểm của cạnh AC, nên góc IAC = góc ICA.
Vì góc BAC = 60 độ, nên góc ICA = (180 - 60)/2 = 60/2 = 30 độ.
Do đó, góc IBC = góc BAC - góc IBA = 60 - 30 = 30 độ.
Tương tự, góc ICB = góc BAC - góc ICA = 60 - 30 = 30 độ.
Vậy ta có góc IBC = góc ICB.

b) Ta có góc C = 30 độ, góc ABC = 90 độ, do đó góc BAC = 180 - 90 - 30 = 60 độ.
Vì I là trung điểm của cạnh AC, nên góc IAC = góc ICA.
Vì góc BAC = 60 độ, nên góc ICA = (180 - 60)/2 = 60/2 = 30 độ.
Do đó, góc KBI = góc IBC - góc IBA = 30 - 30 = 0 độ.
Tương tự, góc KIB = góc ICB - góc ICA = 30 - 30 = 0 độ.
Vậy ta có góc KBI = góc KIB.

c) Ta có I là trung điểm của cạnh AC, nên AI = IC.
Vì I là trung điểm của cạnh AC, nên KI cắt AC tại điểm trung điểm M.
Do đó, AM = MC.
Vì góc C = 30 độ, nên góc AMC = 180 - 30 - 90 = 60 độ.
Vậy tam giác AMC là tam giác đều.
Vì AI = IC và AM = MC, nên tam giác AIC là tam giác đều.
Do đó, góc AIC = góc IAC = góc ICA = 30 độ.
Vì góc KAI = góc IAC = 30 độ, góc KIA = góc ICA = 30 độ.
Vậy tam giác KIA là tam giác cân.
Vì I là trung điểm của cạnh KQ, nên IQ = IK.
Vậy tam giác KIQ là tam giác cân.
Vì góc KIQ = góc KIA + góc AIC = 30 + 30 = 60 độ.
Vậy tam giác KIQ là tam giác đều.
Vì tam giác KIQ là tam giác đều, nên KQ = IQ = IK.
Vậy ta có CQ = CK.

d) Ta đã chứng minh ở phần c) rằng tam giác KIQ là tam giác đều.
Vì I là trung điểm của cạnh AC, nên AI = IC.
Vì tam giác AIC là tam giác đều, nên góc AIC = 60 độ.
Vì tam giác KIQ là tam giác đều, nên góc KIQ = 60 độ.
Do đó, góc KIC = góc KIQ + góc AIC = 60 + 60 = 120 độ.
Vì góc KIC = 120 độ, nên góc KCQ = góc KCI - góc ICQ = 120 - 60 = 60 độ.
Vậy CI là tia phân giác của góc KCQ.

Vậy ta đã chứng minh được các phần a), b), c), d).