Để chứng minh rằng hai đường thẳng y = ax + b và y = a'x + b' song song (//) khi và chỉ khi a = a' và b khác b', ta cần chứng minh hai phần:

1. Nếu a = a' và b khác b', thì hai đường thẳng song song.
2. Nếu hai đường thẳng song song, thì a = a' và b khác b'.

Chứng minh:

1. Giả sử a = a' và b khác b'. Ta cần chứng minh rằng hai đường thẳng y = ax + b và y = a'x + b' có cùng hướng và không giao nhau.

- Hai đường thẳng có cùng hướng vì cả hai đều có hệ số góc a = a'.
- Để chứng minh rằng hai đường thẳng không giao nhau, ta giả sử ngược lại rằng chúng giao nhau tại một điểm (x0, y0). Khi đó, ta có:
ax0 + b = a'x0 + b'
(a - a')x0 = b' - b
x0 = (b' - b) / (a - a')

Thay x0 vào đường thẳng y = ax + b, ta có:
y0 = a * (b' - b) / (a - a') + b
= (ab' - ab) / (a - a') + b
= (ab' - ab + ab - ab') / (a - a') + b
= (ab' - ab' + ab - ab') / (a - a') + b
= 0 / (a - a') + b
= b

Từ đó suy ra y0 = b, tức là điểm (x0, y0) thuộc đường thẳng y = ax + b. Nhưng điều này mâu thuẫn với giả sử ban đầu rằng hai đường thẳng không giao nhau. Vì vậy, giả sử ban đầu là sai và hai đường thẳng y = ax + b và y = a'x + b' không giao nhau, tức là song song.

2. Giả sử hai đường thẳng y = ax + b và y = a'x + b' song song. Ta cần chứng minh rằng a = a' và b khác b'.

- Vì hai đường thẳng song song, nên hệ số góc của chúng phải bằng nhau, tức là a = a'.
- Để chứng minh b khác b', ta giả sử ngược lại rằng b = b'. Khi đó, hai đường thẳng trở thành y = ax + b và y = a'x + b. Hai đường thẳng này có cùng hệ số góc a = a' nhưng có cùng điểm cắt với trục y là (0, b). Điều này mâu thuẫn với giả sử ban đầu rằng hai đường thẳng không giao nhau. Vì vậy, giả sử ban đầu là sai và b khác b'.

Từ hai phần chứng minh trên, ta có thể kết luận rằng hai đường thẳng y = ax + b và y = a'x + b' song song khi và chỉ khi a = a' và b khác b'.