Tính Vecto AB,AC. Chứng minh 3 điểm ABC không thẳng hàng. Tính góc A

a. Tính Vecto AB, AC:
- Vecto AB = B - A = (-3, 0) - (1, 2) = (-4, -2)
- Vecto AC = C - A = (-1, -1) - (1, 2) = (-2, -3)

b. Chứng minh 3 điểm ABC không thẳng hàng:
Để chứng minh 3 điểm A, B, C không thẳng hàng, ta có thể sử dụng tính chất của ma trận 2x2. Xét ma trận:
| 1 2 1 |
| -3 0 1 |
| -1 -1 1 |
Tính định thức của ma trận này, nếu định thức khác 0 thì 3 điểm A, B, C không thẳng hàng. Nếu định thức bằng 0, tức là 3 điểm A, B, C thẳng hàng.

c. Tính góc A:
Để tính góc A, ta sử dụng công thức tính góc giữa 2 vecto:
cos(A) = (AB.AC) / (|AB|.|AC|)
Trong đó, AB.AC là tích vô hướng của 2 vecto AB và AC, |AB| và |AC| là độ dài của 2 vecto AB và AC.
Tính AB.AC:
AB.AC = (-4, -2).(-2, -3) = 8 + 6 = 14
Tính |AB| và |AC|:
|AB| = sqrt((-4)^2 + (-2)^2) = sqrt(20) = 2sqrt(5)
|AC| = sqrt((-2)^2 + (-3)^2) = sqrt(13)
Tính cos(A):
cos(A) = 14 / (2sqrt(5) * sqrt(13)) = 14 / (2sqrt(65))
Từ đó, tính góc A:
A = arccos(14 / (2sqrt(65)))

d. Tìm tọa độ điểm D để ABCD là hình bình hành:
Để ABCD là hình bình hành, ta cần tìm tọa độ điểm D sao cho vecto AD = BC.
Vecto AD = Vecto AB + Vecto AC = (-4, -2) + (-2, -3) = (-6, -5)
Tọa độ điểm D là tọa độ của điểm A cộng với tọa độ của vecto AD:
D = A + AD = (1, 2) + (-6, -5) = (-5, -3)

e. Tìm tọa độ điểm G để G là trọng tâm tam giác ABC:
Trọng tâm tam giác ABC có tọa độ là trung bình cộng của tọa độ các đỉnh tam giác.
Tọa độ điểm G là trung bình cộng của tọa độ các đỉnh A, B, C:
G = ( (1-3-1)/3, (2+0-1)/3 ) = (-1, 1/3)

f. Tìm tọa độ điểm E để Vecto AB = 3 lần Vecto BE:
Vecto AB = 3 * Vecto BE
(-4, -2) = 3 * (E - B)
(-4, -2) = 3 * (x - (-3), y - 0)
(-4, -2) = 3 * (x + 3, y)
(-4, -2) = (3x + 9, 3y)
Giải hệ phương trình:
-4 = 3x + 9
-2 = 3y
Từ đó, tìm tọa độ điểm E.

g. Tính chu vi, diện tích tam giác ABC:
Để tính chu vi tam giác ABC, ta tính độ dài các cạnh AB, BC, AC và cộng lại:
AB = sqrt((-4)^2 + (-2)^2) = sqrt(20) = 2sqrt(5)
BC = sqrt((-3 - (-1))^2 + (0 - (-1))^2) = sqrt(5)
AC = sqrt((-2 - 1)^2 + (-3 - 2)^2) = sqrt(29)
Chu vi tam giác ABC = AB + BC + AC

Để tính diện tích tam giác ABC, ta sử dụng công thức diện tích tam giác:
Diện tích tam giác ABC = 1/2 * |AB x AC|
Trong đó, AB x AC là tích vector của 2 vecto AB và AC.
Tính AB x AC:
AB x AC = (-4, -2) x (-2, -3) = (-4 * (-3) - (-2) * (-2), (-2) * (-2) - (-4) * (-3))
Từ đó, tính diện tích tam giác ABC.