Cho tam giác MNP vuông tại M, trung tuyến NK . Phân giác của góc NKM và NKP lần lượt cắt MN và MP ở H và E . Biết MN =8cm, MP=6cm

a) Ta có tam giác MNP vuông tại M, nên theo định lý Pythagoras, ta có:
MN² = MP² + NP²
8² = 6² + NP²
64 = 36 + NP²
NP² = 28
NP = √28 = 2√7 cm

Vì NK là trung tuyến của tam giác MNP, nên NK = 1/2 NP = 1/2 * 2√7 = √7 cm

Ta có phân giác của góc NKM cắt MN tại H, nên theo định lý phân giác, ta có:
NH/NM = KH/KM
NH/8 = KH/√7
NH = 8 * KH/√7

Tương tự, phân giác của góc NKP cắt MP tại E, nên ta có:
EP/MP = KP/KM
EP/6 = KP/√7
EP = 6 * KP/√7

b) Ta cần chứng minh NK trên HM = NE trên EP suy ra EH song song với MP.
Ta có:
NK trên HM = NH + NK = 8 * KH/√7 + √7
NE trên EP = EP - NE = 6 * KP/√7 - √7

Để chứng minh NK trên HM = NE trên EP, ta cần chứng minh:
8 * KH/√7 + √7 = 6 * KP/√7 - √7

Nhân cả hai vế của phương trình trên với √7, ta có:
8 * KH + 7 = 6 * KP - 7
8 * KH = 6 * KP - 14
4 * KH = 3 * KP - 7

Ta cần chứng minh rằng 4 * KH = 3 * KP - 7. Để chứng minh điều này, ta sẽ sử dụng định lí phân giác.

Ta có phân giác của góc NKM cắt MN tại H, nên theo định lý phân giác, ta có:
KH/HM = KP/PM
KH/8 = KP/6
3 * KH = 4 * KP

Thay vào phương trình trên, ta có:
4 * KH = 3 * KP - 7

Vậy, ta đã chứng minh được NK trên HM = NE trên EP suy ra EH song song với MP.

c) Gọi O là giao điểm của NK và HE. Ta cần chứng minh O là trung điểm của HE.

Ta có:
NK trên HM = NH + NK = 8 * KH/√7 + √7
NE trên EP = EP - NE = 6 * KP/√7 - √7

Để chứng minh O là trung điểm của HE, ta cần chứng minh:
NK trên HM = NE trên EP

Thay giá trị của NK trên HM và NE trên EP vào phương trình trên, ta có:
8 * KH/√7 + √7 = 6 * KP/√7 - √7

Nhân cả hai vế của phương trình trên với √7, ta có:
8 * KH + 7 = 6 * KP - 7
8 * KH = 6 * KP - 14
4 * KH = 3 * KP - 7

Tương tự, ta có:
4 * KH = 3 * KP - 7

Vậy, ta đã chứng minh được O là trung điểm của HE.