Cho các số thực thỏa mãn, tính giá trị Q

Để giải hệ phương trình, ta sẽ sử dụng phương pháp đặt a = 4x, b = 4y, c = 4z. Thay vào các phương trình ban đầu, ta được:

64x^3 - 48z^2 + 192z - 64 = 0
64y^3 - 48x^2 + 192x - 64 = 0
64z^3 - 48y^2 + 192y - 64 = 0

Chia cả hai vế của từng phương trình cho 64, ta có:

x^3 - 3z^2 + 3z - 1 = 0
y^3 - 3x^2 + 3x - 1 = 0
z^3 - 3y^2 + 3y - 1 = 0

Đặt f(t) = t^3 - 3t^2 + 3t - 1. Ta có hệ phương trình f(x) = f(y) = f(z) = 0.

Để tìm nghiệm của hệ phương trình này, ta sẽ sử dụng định lý Viète. Gọi p, q, r là các nghiệm của f(t) = 0. Ta có:

p + q + r = 3
pq + qr + rp = 3
pqr = 1

Từ đó, ta có:

(p + q + r)^2 = p^2 + q^2 + r^2 + 2(pq + qr + rp)
⇒ p^2 + q^2 + r^2 = (p + q + r)^2 - 2(pq + qr + rp)
⇒ p^2 + q^2 + r^2 = 3^2 - 2(3)
⇒ p^2 + q^2 + r^2 = 3

Tiếp theo, ta sẽ tính giá trị của biểu thức Q = (căn a + căn b + căn c)^2023. Đặt A = căn a, B = căn b, C = căn c. Ta có:

Q = (A + B + C)^2023

Áp dụng công thức nhị thức Newton, ta có:

Q = C(2023, 0)A^2023 + C(2023, 1)A^2022B + C(2023, 2)A^2021B^2 + ... + C(2023, 2022)AB^2021 + C(2023, 2023)B^2023

Với mỗi mục trong tổng trên, ta có thể thay thế A, B, C bằng căn a, căn b, căn c theo công thức A = căn (4x), B = căn (4y), C = căn (4z).

Vậy, để tính giá trị của biểu thức Q, ta cần tính các hệ số C(2023, k) và thay thế A, B, C bằng căn (4x), căn (4y), căn (4z) vào từng mục trong tổng trên.