Để chứng minh n+3 chia hết cho 24, ta cần chứng minh rằng 4n+13 và 5n+16 đều chia hết cho 24.

Giả sử 4n+13 là số chính phương, tức là tồn tại số nguyên k sao cho (4n+13) = k^2. Ta có:

4n+13 = k^2
4n = k^2 - 13

Vì 4n là một số chẵn, k^2 - 13 cũng phải là số chẵn. Điều này chỉ xảy ra khi k là số lẻ. Gọi k = 2m + 1 (với m là số nguyên), ta có:

4n = (2m + 1)^2 - 13
4n = 4m^2 + 4m - 12
n = m^2 + m - 3

Tương tự, giả sử 5n+16 là số chính phương, tức là tồn tại số nguyên p sao cho (5n+16) = p^2. Ta có:

5n+16 = p^2
5n = p^2 - 16

Vì 5n là một số chẵn, p^2 - 16 cũng phải là số chẵn. Điều này chỉ xảy ra khi p là số chẵn. Gọi p = 2q (với q là số nguyên), ta có:

5n = (2q)^2 - 16
5n = 4q^2 - 16
n = (4q^2 - 16)/5

Ta thấy rằng n là một số nguyên khi và chỉ khi 4q^2 - 16 chia hết cho 5. Điều này chỉ xảy ra khi 4q^2 chia hết cho 5, tức là q chia hết cho 5. Gọi q = 5r (với r là số nguyên), ta có:

n = (4(5r)^2 - 16)/5
n = (4(25r^2) - 16)/5
n = (100r^2 - 16)/5
n = 20r^2 - 3.2

Vậy ta có n = m^2 + m - 3 và n = 20r^2 - 3.2. Để n+3 chia hết cho 24, ta cần chứng minh rằng m^2 + m - 3 + 3 và 20r^2 - 3.2 + 3 đều chia hết cho 24.

Ta có:

m^2 + m - 3 + 3 = m^2 + m
20r^2 - 3.2 + 3 = 20r^2

Ta thấy rằng m^2 + m và 20r^2 đều là số chẵn. Điều này chỉ xảy ra khi m và r đều là số chẵn hoặc số lẻ. Vì vậy, m^2 + m và 20r^2 đều chia hết cho 2.

Ta cần chứng minh rằng m^2 + m và 20r^2 đều chia hết cho 3. Ta biết rằng m^2 + m - 3 chia hết cho 3. Nếu m chia hết cho 3, thì m^2 + m chia hết cho 3. Nếu m không chia hết cho 3, thì m^2 + m chia hết cho 3. Vì vậy, m^2 + m chia hết cho 3.

Tương tự, ta biết rằng 20r^2 - 3.2 chia hết cho 3. Nếu r chia hết cho 3, thì 20r^2 chia hết cho 3. Nếu r không chia hết cho 3, thì 20r^2 chia hết cho 3. Vì vậy, 20r^2 chia hết cho 3.

Vậy ta có m^2 + m và 20r^2 đều chia hết cho 2 và 3. Theo nguyên tắc chia hết, ta có m^2 + m và 20r^2 chia hết cho 2.3 = 6. Vậy n+3 chia hết cho 6.

Đồng thời, ta cũng đã chứng minh được rằng n+3 chia hết cho 4 và 5 (vì n chia hết cho 4 và 5). Vậy n+3 chia hết cho 4.5 = 20.

Vậy n+3 chia hết cho 6, 20 và 24. Theo nguyên tắc chia hết, ta có n+3 chia hết cho bội số chung nhỏ nhất của 6, 20 và 24, tức là n+3 chia hết cho 24.