Cho tam giác ABC  trên BC lấy điểm D  sao cho BD = 1/2 DC

a) Ta có:
BD = 1/2 DC
AE = 1/2 AC
Vậy ta có:
DC = 2BD
AC = 2AE
Do đó, ta có:
ABD = 1/2 * AB * BD = 1/2 * AB * (1/2 DC) = 1/4 * AB * DC
ADE = 1/2 * AD * DE = 1/2 * AD * (1/2 AC) = 1/4 * AD * AC
CDE = 1/2 * CD * DE = 1/2 * (DC - BD) * DE = 1/2 * (2BD - BD) * DE = 1/2 * BD * DE
Vậy diện tích các tam giác ABD, ADE, CDE lần lượt là:
ABD = 1/4 * AB * DC
ADE = 1/4 * AD * AC
CDE = 1/2 * BD * DE

b) Gọi M là trung điểm của BC, ta có:
AM = 1/2 AC = AE
Vậy tam giác AME là tam giác đều.
Gọi x là diện tích tam giác ABC, ta có:
Diện tích tam giác ABNE = Diện tích tam giác ABC - Diện tích tam giác AME
= x - 1/2 * AE * AM
= x - 1/2 * (1/2 AC) * (1/2 AC)
= x - 1/8 * AC^2
= x - 1/8 * (2AE)^2
= x - 1/8 * 4AE^2
= x - 1/2 * AE^2
= x - 1/2 * (1/2 AC)^2
= x - 1/2 * (1/2)^2 * AC^2
= x - 1/2 * (1/4) * AC^2
= x - 1/8 * AC^2
= x - 1/8 * (2AC)^2
= x - 1/8 * 4AC^2
= x - 1/2 * AC^2
= x - 1/2 * x
= 1/2 * x
Vậy diện tích tam giác ABNE là 1/2 diện tích tam giác ABC.
Theo đề bài, diện tích tam giác ABNE bằng 8/9 diện tích tam giác ABC.
Vậy 1/2 * x = 8/9 * x
=> 1/2 = 8/9
=> 9 = 16
Điều này là không đúng.
Vậy không tồn tại điểm N trên DC sao cho diện tích tứ giác ABNE bằng 8/9 diện tích tam giác ABC.
Do đó, không thể tính tỉ số NC/BC.