Cho nửa (O), đường kính AB. Trên nửa đường tròn lấy các điểm C, D sao cho COD = 90 (AC < AD)

Để chứng minh CM MH//PQ, ta sẽ sử dụng định lí Thales.

Vì M là trung điểm của BE, nên BM = ME.
Vì I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABE, nên AI = IE.

Ta có:
∠CME = ∠CBE (cùng nằm ở cùng một cung CB trên đường tròn (O))
∠CBE = ∠CAE (cùng nằm ở cùng một cung CB trên đường tròn (O))
∠CAE = ∠DAE (cùng nằm ở cùng một cung AD trên đường tròn (O))
∠DAE = ∠DME (cùng nằm ở cùng một cung AD trên đường tròn (O))

Vậy ta có:
∠CME = ∠DME

Do đó, tam giác CME là tam giác cân tại M.

Theo định lí Thales, ta có:
CM/ME = CH/HE

Vì BM = ME và CM = CH, nên ta có:
BM/ME = CM/ME
BM/ME = CH/HE

Do đó, ta có:
BM/CH = ME/HE

Vậy theo định lí Thales, ta có MH//BE.

Tiếp theo, ta sẽ chứng minh PQ//MH.

Vì ∠CME = ∠DME, nên ta có:
∠CME = ∠DME = ∠CDE/2 (góc nửa tròn)

Vì M là trung điểm của BE, nên ta có:
∠CME = ∠BME = ∠BME/2 (góc nửa tròn)

Vậy ta có:
∠CDE/2 = ∠BME/2

Do đó, tam giác CDE đồng dạng với tam giác BME.

Vì ∠CDE = ∠BME, nên ta có:
∠CDE = ∠BME = ∠CBE/2 (góc nửa tròn)

Vậy ta có:
∠CBE/2 = ∠CDE/2

Do đó, tam giác CBE đồng dạng với tam giác CDE.

Vì ∠CBE = ∠CDE, nên ta có:
∠CBE = ∠CDE = ∠CME/2 (góc nửa tròn)

Vậy ta có:
∠CME/2 = ∠CBE/2

Do đó, tam giác CME đồng dạng với tam giác CBE.

Vì ∠CME = ∠CBE, nên ta có:
∠CME = ∠CBE = ∠CME/2 (góc nửa tròn)

Vậy ta có:
∠CME/2 = ∠CME/2

Do đó, tam giác CME đồng dạng với chính nó.

Vậy ta có:
CM/ME = ME/CE

Vì BM = ME, nên ta có:
BM/ME = ME/CE

Do đó, ta có:
BM/CE = ME/CE

Vậy theo định lí Thales, ta có PQ//BE.

Vậy ta đã chứng minh được CM MH//PQ.