a) Để tìm phép dời hình biến tam giác APN thành tam giác còn lại, ta xét các đường trung tuyến của tam giác ABC. Gọi E, F, G lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, AB, BC. Ta có:

- Tam giác PBM là tam giác có đỉnh P và hai điểm trung điểm của các cạnh AB và BC, nên tam giác PBM là tam giác có hai đỉnh trùng với tam giác ABC. Do đó, phép dời hình biến tam giác APN thành tam giác PBM là phép dời hình theo đường trung tuyến EF.

- Tương tự, ta có phép dời hình biến tam giác APN thành tam giác NMC là phép dời hình theo đường trung tuyến FG.

- Phép dời hình biến tam giác APN thành tam giác MNP là phép dời hình theo đường trung tuyến EG.

b) Để biến tam giác ABC thành tam giác MNP, ta cần thực hiện các phép vị tự sau:

- Phép dời hình theo đường trung tuyến EF để biến tam giác ABC thành tam giác PBM.

- Phép dời hình theo đường trung tuyến FG để biến tam giác PBM thành tam giác NMC.

- Phép dời hình theo đường trung tuyến EG để biến tam giác NMC thành tam giác MNP.

c) Để chứng minh tam giác có ba đỉnh là trực tâm của ba tam giác APN, PBM và NCM bằng tam giác APN, ta sử dụng tính chất của trực tâm. Trực tâm của tam giác APN là giao điểm của các đường thẳng đi qua đỉnh tam giác và điểm trung điểm của cạnh tương ứng. Gọi I là trực tâm của tam giác APN, ta có:

- Đường thẳng AM là đường trung tuyến của tam giác ABC, nên I là trung điểm của đoạn thẳng AM.

- Đường thẳng BI là đường trung tuyến của tam giác ABC, nên I là trung điểm của đoạn thẳng BI.

- Đường thẳng CN là đường trung tuyến của tam giác ABC, nên I là trung điểm của đoạn thẳng CN.

Do đó, tam giác IBC là tam giác có hai đỉnh trùng với tam giác ABC, tức là tam giác IBC trùng với tam giác ABC. Tương tự, ta có tam giác IAP và tam giác INC cũng trùng với tam giác APN và tam giác NCM tương ứng.

Từ đó, ta có tam giác IBC, tam giác IAP và tam giác INC là cùng một tam giác, tức là tam giác IBC = tam giác IAP = tam giác INC = tam giác APN.

Tương tự, ta có thể chứng minh tam giác IBC = tam giác PBM = tam giác NMC = tam giác MNP nếu thay trực tâm bằng trọng tâm, hoặc tâm đường tròn ngoại tiếp, hoặc tâm đường tròn nội tiếp.