Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng các kiến thức về hình học và tính toán độ dài các đoạn thẳng.

a, Cần chứng minh EC = MN.
Ta có:
- EC là bán kính của nửa đường tròn (O) có đường kính AB.
- MN là đường kính của nửa đường tròn (I) có đường kính AC.

Vì AB là đường kính của nửa đường tròn (O), nên EC = AB/2.
Vì AC là đường kính của nửa đường tròn (I), nên MN = AC.

Vậy, ta có EC = MN.

b, Cần chứng minh MN là tiếp tuyến chung của các nửa đường tròn (I), (K).
Ta có:
- MN là đường kính của nửa đường tròn (I) có đường kính AC.
- MN là đường kính của nửa đường tròn (K) có đường kính CB.

Vì đường kính của nửa đường tròn (I) là AC, và đường kính của nửa đường tròn (K) là CB, nên MN là tiếp tuyến chung của các nửa đường tròn (I), (K).

c, Để tính MN, ta cần tính độ dài đoạn thẳng AC và CB.
Theo đề bài, AC = 10cm và CB = 40cm.

Vì MN là đường kính của nửa đường tròn (I) có đường kính AC, nên MN = AC = 10cm.

d, Để tính diện tích hình được giới hạn bởi ba nửa đường tròn, ta cần tính diện tích của từng nửa đường tròn và trừ đi diện tích các hình tròn nhỏ.

Diện tích của một nửa đường tròn có bán kính R là: S = πR^2/2.
Diện tích của hình tròn có bán kính r là: S = πr^2.

Với nửa đường tròn (O) có bán kính AB/2, diện tích là: S1 = π(AB/2)^2/2.
Với nửa đường tròn (I) có bán kính AC/2, diện tích là: S2 = π(AC/2)^2/2.
Với nửa đường tròn (K) có bán kính CB/2, diện tích là: S3 = π(CB/2)^2/2.

Diện tích hình được giới hạn bởi ba nửa đường tròn là: S = S1 + S2 + S3 - S2 - S3 = S1.

Vậy, diện tích hình được giới hạn bởi ba nửa đường tròn là diện tích của nửa đường tròn (O), tức là: S = S1 = π(AB/2)^2/2.