Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH

Để diện tích tam giác AMN nhỏ nhất, ta cần tìm điều kiện để tam giác AMN là tam giác đều.

Gọi I là trung điểm của BC. Ta có:

- Tam giác ABC vuông tại A nên AH là đường cao, do đó AH là đường trung bình của tam giác ABC.
- Do đó, ta có AM = AN = AI.
- Ta cũng có BM = CN = CI (do O, M, N lần lượt là trung điểm của AH, BH, CH).
- Vì khoảng cách từ A đến BC không đổi, nên AD = AE.
- Ta có AD = AE = AI/2 (do D và E lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC).
- Vậy, tam giác ADE là tam giác đều.

Từ đó, ta có tam giác AMN là tam giác đều khi và chỉ khi tam giác ADE là tam giác đều.

Vậy, điều kiện để diện tích tam giác AMN nhỏ nhất là tam giác ABC phải là tam giác vuông cân tại A.