a) Ta có:
- Gọi I là giao điểm của AD và BE.
- Gọi G là trung điểm của BC.
- Ta có: AG là đường trung bình của tam giác ABC nên AG vuông góc với BC tại G.
- Ta có: AD là đường cao của tam giác ABC nên AD vuông góc với BC tại D.
- Vì AG và AD cùng vuông góc với BC nên AG // AD.
- Tương tự, BG // BE.
- Vậy ta có: AGDB là hình chữ nhật.
- Gọi O là trung điểm của AI.
- Ta có: AO // GD và AO // BE.
- Vậy ta có: AOED là hình chữ nhật.
- Vậy ta có: C, D, O, E cùng thuộc một đường tròn.

b) Ta có:
- Gọi F là giao điểm của DF và (O).
- Ta có: DF là đường kính của (O) nên DF vuông góc với (O) tại F.
- Gọi H là giao điểm của CO và DF.
- Ta có: CO là đường cao của tam giác COQ nên CO vuông góc với QH.
- Vậy ta cần chứng minh QH // AB.
- Ta có: QF là tiếp tuyến của (O) tại F nên QF vuông góc với OF.
- Ta có: OF // AB (vì OF là đường phân giác của góc AOB).
- Vậy ta có: QF // AB.
- Vậy ta có: QH // AB.
- Vậy tam giác COQ vuông.

c) Ta có:
- Gọi N là giao điểm của AF và CO.
- Ta cần chứng minh BD = CM.
- Ta có: AGDB là hình chữ nhật nên AG = BD.
- Ta có: AOED là hình chữ nhật nên AO = DE.
- Ta có: AO // GD nên AO = GN.
- Ta có: AO // DE nên AO = NE.
- Vậy ta có: GN = NE.
- Ta có: AG = BD và GN = NE nên AG + GN = BD + NE.
- Vậy ta có: AN = BD + NE.
- Ta có: AO = DE nên AN = AO + ON.
- Vậy ta có: BD + NE = AO + ON.
- Ta có: AO = GN nên AO + ON = GN + ON.
- Vậy ta có: BD + NE = GN + ON.
- Ta có: AG = BD và AO = GN nên AG + AO = BD + GN.
- Vậy ta có: AN = BD + GN.
- Ta có: AN = BD + NE và AN = BD + GN nên BD + GN = BD + NE.
- Vậy ta có: GN = NE.
- Ta có: GN = NE và GN // NE nên GNEN là hình bình hành.
- Vậy ta có: GN = NE và GNEN là hình bình hành nên GN = NE = EN.
- Ta có: GN = EN nên GNE là tam giác đều.
- Vậy ta có: GN = NE = EN và GNE là tam giác đều nên GNE là tam giác đều cân.
- Ta có: GN = NE = EN và GNE là tam giác đều cân nên GNE là tam giác đều cân vuông.
- Vậy ta có: GNE là tam giác đều cân vuông nên góc GNE = 90°.
- Ta có: GNE là tam giác đều cân vuông nên góc GNE = góc GEM.
- Vậy ta có: góc GEM = 90°.
- Ta có: góc GEM = 90° và góc GEM = góc GCM nên góc GCM = 90°.
- Vậy ta có: góc GCM = 90°.
- Vậy ta có: tam giác COQ vuông.