Cho tam giác ABC

a) Ta có:
- AD là đường phân giác của góc BAC, nên BD=CD.
- AE là đường phân giác của góc ABC, nên CE=BE.
- Từ hai điều trên, ta có BD=CD=CE=BE.
- Do đó, tứ giác BCDE là hình vuông.
- Vì O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC, nên OD=OE.
- Vì tứ giác BCDE là hình vuông, nên OD=OE=CD=CE.
- Từ đó, ta có tứ giác CDOE là hình chữ nhật.
- Vậy, tứ giác CDOE là hình bình hành.
- Do đó, các đường chéo CO và DE cắt nhau tại trung điểm của chúng, ký hiệu là F.
- Vậy, bốn điểm C, D, O, E cùng thuộc một đường tròn.

b) Ta có:
- Gọi H là giao điểm của DF và CO.
- Ta có DH là đường kính của đường tròn (O) (do F là trung điểm của DE).
- Vì DH là đường kính của đường tròn (O), nên DH vuông góc với DE.
- Mà DE là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại E, nên DE vuông góc với EO.
- Vậy, DH vuông góc với EO.
- Mà EO là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại E, nên EO vuông góc với AC.
- Vậy, DH vuông góc với AC.
- Tương tự, ta có DH vuông góc với AB.
- Vậy, tam giác COQ vuông tại O.

c) Ta có:
- Gọi I là giao điểm của AF và CO.
- Ta có AI là đường phân giác của góc BAC, nên BM=MC (do AM cắt BC tại trung điểm của nó).
- Vì tứ giác BCDE là hình vuông, nên BD=CD.
- Mà BD=CD và BM=MC, nên tam giác BDI đồng dạng với tam giác CMI.
- Vậy, BD/CM=DI/IM.
- Mà DI/IM=AI/CI (do tam giác BDI đồng dạng với tam giác CMI).
- Vậy, BD/CM=AI/CI.
- Mà AI là đường phân giác của góc BAC, nên AI cắt BC tại trung điểm của nó.
- Vậy, BD=CM.