Để chứng minh rằng BC > BM, ta sẽ sử dụng định lí Pythagoras trong tam giác vuông ABC.

Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên AC. Ta có:

- Vì A là góc vuông, nên AH = AC - CH.
- Vì AM < AC, nên AH < AC.

Do đó, ta có AM < AC và AH < AC.

Áp dụng định lí Pythagoras trong tam giác vuông ABH, ta có:

AB^2 = AH^2 + BH^2.

Áp dụng định lí Pythagoras trong tam giác vuông CBH, ta có:

BC^2 = BH^2 + CH^2.

So sánh hai phương trình trên, ta có:

AB^2 - BC^2 = AH^2 + BH^2 - BH^2 - CH^2 = AH^2 - CH^2.

Vì AH < AC và CH < AC, nên AH^2 < AC^2 và CH^2 < AC^2.

Do đó, AH^2 - CH^2 < AC^2 - AC^2 = 0.

Từ đó, ta có AB^2 - BC^2 < 0, hay AB^2 < BC^2.

Vì AB và BC đều là độ dài các cạnh của tam giác ABC, nên AB < BC.

Kết hợp với AM < AC, ta có AB < BC và AM < AC.

Do đó, ta có BM < BC.

Từ đó, ta suy ra rằng BC > BM.