Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng hệ phương trình đồng dư.

Ta có các điều kiện sau:

1. \( x \equiv 1 \mod 3 \)
2. \( x \equiv 2 \mod 4 \)
3. \( x \equiv 3 \mod 5 \)
4. \( x \equiv 4 \mod 6 \)

Ta sẽ chuyển đổi các điều kiện này thành dạng \( x = k \cdot m + r \), với \( r \) là số dư và \( m \) là số chia.

1. Từ điều kiện 1: \( x = 3k + 1 \)
2. Từ điều kiện 2: \( x = 4m + 2 \)
3. Từ điều kiện 3: \( x = 5n + 3 \)
4. Từ điều kiện 4: \( x = 6p + 4 \)

Theo điều kiện \( x \equiv 4 \mod 6 \), ta có thể viết lại như sau:
\[ x \equiv 4 \mod 6 \]

Điều này cũng có thể được viết là:
\[ x \equiv 4 \mod 2 \] (điều này luôn đúng vì 4 là chẵn)
\[ x \equiv 4 \mod 3 \]

Vì vậy, chúng ta chỉ cần chú ý đến điều kiện này khi kết hợp với các điều kiện khác.

### Bước 1: Giải các điều kiện đồng dư

**Lấy điều kiện 1 và 4:**
Từ điều kiện 1: \( x \equiv 1 \mod 3 \)

Và từ điều kiện 4: \( x \equiv 4 \mod 6 \) tương đương với \( x \equiv 1 \mod 3 \) (vì 4 chia hết cho 2, còn dư 0). Chúng ta thấy rằng điều kiện này trùng nhau.

**Bước 2: Kết hợp điều kiện 2 và 3**
- Từ điều kiện 2: \( x \equiv 2 \mod 4 \)
- Từ điều kiện 3: \( x \equiv 3 \mod 5 \)

### Bước 3: Giải đồng thời
Bây giờ, ta sẽ giải hệ phương trình giữa các điều kiện này.

1. Từ \( x \equiv 2 \mod 4 \):
\[
x = 4k + 2 \quad (1)
\]

2. Thay vào điều kiện 3:
\[
4k + 2 \equiv 3 \mod 5
\]
\[
4k \equiv 1 \mod 5
\]

Giải phương trình này, ta tìm được giá trị của \( k \):
Chuyển phương trình thành:
\[
4k = 5m + 1
\]
Giải for \( k \):
Ta có thể thử các giá trị của \( k \):
- \( k = 0: 4*0 \equiv 0 \mod 5\)
- \( k = 1: 4*1 \equiv 4 \mod 5\)
- \( k = 2: 4*2 \equiv 3 \mod 5\)
- \( k = 3: 4*3 \equiv 2 \mod 5\)
- \( k = 4: 4*4 \equiv 1 \mod 5\) (đúng)

Vậy \( k \equiv 4 \mod 5 \) hay \( k = 5m + 4 \).

Thay vào (1):
\[
x = 4(5m + 4) + 2
\]
\[
x = 20m + 16 + 2
\]
\[
x = 20m + 18
\]

### Bước tiếp theo:
Lấy \( x = 20m + 18 \) và thay vào điều kiện \( x \equiv 1 \mod 3 \):
\[
20m + 18 \equiv 1 \mod 3
\]
\[
2m + 0 \equiv 1 \mod 3
\]
Giải cho \( m \):
\( 2m \equiv 1 \mod 3 \) tương đương với \( m \equiv 2 \mod 3 \).

### Bước cuối cùng:
Thay vào \( m \):
\( m = 3n + 2 \)

Thay trở lại vào biểu thức \( x = 20m + 18 \):
\[
x = 20(3n + 2) + 18 = 60n + 40 + 18 = 60n + 58
\]

### Kết luận:
Vậy x = 58 là một nghiệm thoả mãn mọi điều kiện. Nghiệm tổng quát sẽ là:
\[
x = 60n + 58 \quad (n \in \mathbb{Z})
\]

**Một ví dụ cụ thể là \( n = 0 \) dẫn đến \( x = 58 \).**