Bài 3:
Ta có tam giác ABC với các cạnh AB = 3, AC = 5 và BC = 7. Tam giác MNP đồng dạng với tam giác ABC và cạnh nhỏ nhất của tam giác MNP là 1 cm. Ta cần tính độ dài còn lại của tam giác MNP.

Vì tam giác MNP đồng dạng với tam giác ABC, nên tỉ lệ độ dài các cạnh của hai tam giác này là như nhau. Ta có:

AB/MP = AC/NP = BC/NM

Thay giá trị vào, ta có:

3/MP = 5/NP = 7/NM

Vì cạnh nhỏ nhất của tam giác MNP là 1 cm, ta có thể giả sử MP = 1 cm. Từ đó, ta tính được NP và NM:

NP = (5/3) * MP = (5/3) * 1 = 5/3 cm
NM = (7/3) * MP = (7/3) * 1 = 7/3 cm

Vậy, độ dài còn lại của tam giác MNP là NP = 5/3 cm và NM = 7/3 cm.

Bài 4:
Cho tam giác ABC có các cạnh theo tỉ lệ 4:5:6. Tam giác DEF đồng dạng với tam giác ABC và cạnh nhỏ nhất của tam giác DEF là 0,8 m. Ta cần tính độ dài các cạnh còn lại của tam giác DEF.

Vì tam giác DEF đồng dạng với tam giác ABC, nên tỉ lệ độ dài các cạnh của hai tam giác này là như nhau. Ta có:

AB/DE = AC/DF = BC/EF

Thay giá trị vào, ta có:

4/DE = 5/DF = 6/EF

Vì cạnh nhỏ nhất của tam giác DEF là 0,8 m, ta có thể giả sử DE = 0,8 m. Từ đó, ta tính được DF và EF:

DF = (5/4) * DE = (5/4) * 0,8 = 1 m
EF = (6/4) * DE = (6/4) * 0,8 = 1,2 m

Vậy, độ dài còn lại của tam giác DEF là DF = 1 m và EF = 1,2 m.

Bài 9:
Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), M là trung điểm của BC, vẽ MD vuông góc AB tại H, cắt AC tại N. Ta cần chứng minh HN^2 = AN.CN.

Ta có tam giác ABC vuông tại A, nên theo định lý Pythagoras, ta có:

AB^2 + AC^2 = BC^2
AB^2 + (AN + NC)^2 = BC^2
AB^2 + AN^2 + 2.AN.NC + NC^2 = BC^2

Vì tam giác ABC vuông tại A, nên ta có:

AB^2 = AH^2 + HB^2
AC^2 = AH^2 + HC^2

Thay giá trị vào, ta có:

AH^2 + HB^2 + AN^2 + 2.AN.NC + NC^2 = AH^2 + HC^2
HB^2 + AN^2 + 2.AN.NC + NC^2 = HC^2

Vì M là trung điểm của BC, ta có:

HB = HC/2
AN = NC

Thay giá trị vào, ta có:

(HC/2)^2 + AN^2 + 2.AN.NC + NC^2 = HC^2
HC^2/4 + AN^2 + 2.AN.NC + NC^2 = HC^2
AN^2 + 2.AN.NC + NC^2 = 3.HC^2/4

Vì AN = NC, ta có:

AN^2 + 2.AN.NC + NC^2 = 3.AN^2
3.AN^2 = 3.HC^2/4
AN^2 = HC^2/4

Vậy, HN^2 = AN.CN.

Bài 10:
Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC), các đường cao BN, CP cắt nhau tại H. Ta cần chứng minh:
A) AN.CN = AP.AB
B) Tam giác ANP đồng dạng tam giác ABC
C) Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của P, N lên BN, CP. Chứng minh EP // BC.

A) Ta có:
AN/AB = AN/AC * AC/AB = CN/AC * AB/AN = CN/AN
Vậy AN.CN = AP.AB.

B) Ta có:
Góc ANP = Góc ABC (do là góc giữa đường cao và cạnh tương ứng)
Góc NAP = Góc BAC (do là góc giữa đường cao và cạnh tương ứng)
Vậy tam giác ANP đồng dạng tam giác ABC.

C) Ta có:
Góc ENP = Góc BAC (do là góc giữa đường cao và cạnh tương ứng)
Góc EPN = Góc ABC (do là góc giữa đường cao và cạnh tương ứng)
Vậy EP // BC.

Bài 12:
Cho tam giác ABC có AB = 8 cm, AC = 16 cm. Gọi D và E lần lượt trên các cạnh AB, AC sao cho BD = 2 cm và CE = 13 cm. Ta cần chứng minh:
A) Tam giác AED đồng dạng tam giác ADC
B) Góc ADE = góc ABC
C) AE.AC = AB.AD

A) Ta có:
Góc AED = Góc ADC (do là góc giữa đường cao và cạnh tương ứng)
Góc EAD = Góc CAD (do là góc giữa đường cao và cạnh tương ứng)
Vậy tam giác AED đồng dạng tam giác ADC.

B) Ta có:
Góc ADE = Góc ABC (do là góc giữa đường cao và cạnh tương ứng)

C) Ta có:
AE/AB = AE/AC * AC/AB = AD/AC * AB/AE = AD/AC * AE/AD = AE/AC
Vậy AE.AC = AB.AD.