Câu 1:
a) Để chứng tỏ phương trình luôn có nghiệm với mọi m, ta cần chứng minh rằng Δ = b^2 - 4ac ≥ 0 với mọi m.

Phương trình đã cho là x^2 + (2m-1)x - m = 0
Áp dụng công thức tính Δ: Δ = (2m-1)^2 - 4(1)(-m) = 4m^2 - 4m + 1 + 4m = 4m^2 + 1

Vì Δ = 4m^2 + 1 ≥ 0 với mọi m, nên phương trình luôn có nghiệm với mọi m.

b) Để tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn x1 - x2 = 1, ta có thể sử dụng công thức Viết lại phương trình dưới dạng: x^2 - (x1 + x2)x + x1x2 = 0

So sánh hệ số của x^2, x và hạng tử tự do ta có:
x1 + x2 = -(2m-1)
x1x2 = -m

Theo đề bài, x1 - x2 = 1, ta có:
x1 + x2 = -(2m-1)
x1 - x2 = 1

Giải hệ phương trình trên, ta có:
2x1 = -(2m-1) + 1
2x2 = -(2m-1) - 1

Simplifying the equations:
x1 = -m
x2 = 1 - m

Để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn x1 - x2 = 1, ta có:
-m - (1 - m) = 1
-m - 1 + m = 1
-1 = 1

Phương trình trên không có nghiệm, vì vậy không tồn tại m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn x1 - x2 = 1.

Câu 2:
Để tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn điều kiện x1^4 - x2^4 = x1^3 - x2^3, ta có thể sử dụng công thức Viết lại phương trình dưới dạng: (x1 - x2)(x1^3 + x1^2x2 + x1x2^2 + x2^3) = (x1 - x2)(x1^2 + x1x2 + x2^2)

So sánh hệ số của x^2, x và hạng tử tự do ta có:
x1^3 + x1^2x2 + x1x2^2 + x2^3 = x1^2 + x1x2 + x2^2

Theo đề bài, x1^4 - x2^4 = x1^3 - x2^3, ta có:
x1^4 - x2^4 = x1^3 - x2^3

Simplifying the equation:
(x1^2 + x2^2)(x1^2 - x2^2) = (x1^2 + x1x2 + x2^2)(x1 - x2)

Vì x1^2 + x2^2 ≠ 0 và x1 - x2 ≠ 0 (vì phương trình đã cho có hai nghiệm), ta có:
x1^2 - x2^2 = x1^2 + x1x2 + x2^2

Simplifying the equation:
x1x2 = 0

Vì x1x2 = 0, ta có hai trường hợp:
1. x1 = 0, x2 ≠ 0
2. x1 ≠ 0, x2 = 0

Để x1 = 0, ta có:
8(0)^2 - 8(0) + m^2 + 1 = 0
m^2 + 1 = 0
m^2 = -1

Phương trình trên không có nghiệm thực, vì vậy không tồn tại m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn điều kiện x1^4 - x2^4 = x1^3 - x2^3.