Tìm x; y để biểu thức M đạt GTLN và tìm GTLN đó

1) Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M, ta cần tìm giá trị lớn nhất của mỗi thành phần trong biểu thức.

- Đối với |15/2 . y - 3x|, ta có |15/2 . y - 3x| ≤ 15/2 . y + 3x (vì giá trị tuyệt đối luôn không âm)
=> Để giá trị này đạt giá trị lớn nhất, ta cần y và x lớn nhất có thể.

- Đối với |4x - 10y|, ta có |4x - 10y| ≤ 4x + 10y (vì giá trị tuyệt đối luôn không âm)
=> Để giá trị này đạt giá trị lớn nhất, ta cần x và y lớn nhất có thể.

- Đối với -2x^2 + 8x + 2014, đây là một hàm bậc 2, để tìm giá trị lớn nhất, ta cần tìm điểm đỉnh của đồ thị hàm số. Điểm đỉnh có tọa độ x = -b/2a = -8/(-4) = 2. Đặt x = 2 vào hàm số ta được giá trị lớn nhất là -2(2)^2 + 8(2) + 2014 = 2022.

Vậy để biểu thức M đạt giá trị lớn nhất, ta cần x = 2, y và x lớn nhất có thể. Giá trị lớn nhất của M là |15/2 . y - 3x| - |4x - 10y| - 2x^2 + 8x + 2014 = |15/2 . y - 6| - |8 - 10y| - 2(2)^2 + 8(2) + 2014 = |15/2 . y - 6| - |8 - 10y| + 2022.

2) Để chứng minh 1/65 < 1/5^3 + 1/6^3 + ... + 1/2023^3 < 1/40, ta sẽ chứng minh từng bất đẳng thức riêng biệt.

- Đầu tiên, chúng ta sẽ chứng minh 1/65 < 1/5^3 + 1/6^3 + ... + 1/2023^3:
Ta thấy rằng 1/5^3 + 1/6^3 + ... + 1/2023^3 là một dãy giảm dần vì mẫu số của các phân số đều tăng dần. Vậy ta có:
1/5^3 + 1/6^3 + ... + 1/2023^3 > 1/2023^3 + 1/2023^3 + ... + 1/2023^3 (có 2022 phân số)
= 2022/2023^3 > 1/2023^3
Vậy 1/5^3 + 1/6^3 + ... + 1/2023^3 > 1/2023^3 > 1/65.

- Tiếp theo, chúng ta sẽ chứng minh 1/5^3 + 1/6^3 + ... + 1/2023^3 < 1/40:
Ta thấy rằng 1/5^3 + 1/6^3 + ... + 1/2023^3 là một dãy giảm dần vì mẫu số của các phân số đều tăng dần. Vậy ta có:
1/5^3 + 1/6^3 + ... + 1/2023^3 < 1/5^3 + 1/5^3 + ... + 1/5^3 (có 2022 phân số)
= 2022/5^3 = 2022/125 < 1/40.

Vậy ta có 1/65 < 1/5^3 + 1/6^3 + ... + 1/2023^3 < 1/40.

3) Để chứng minh tồn tại ít nhất một số trong 2022 số đã cho là số chẵn, ta sẽ chứng minh phản chứng bằng cách giả sử tất cả các số đều là số lẻ.

Giả sử a1, a2, ..., a2022 đều là các số lẻ. Khi đó, mỗi số 1/ai cũng là số lẻ vì mẫu số là số lẻ và tử số là 1. Vậy tổng 1/a1 + 1/a2 + ... + 1/a2022 cũng là số lẻ.

Tuy nhiên, theo đề bài, tổng này bằng 1, và 1 là số chẵn. Điều này dẫn đến mâu thuẫn.

Vậy giả sử ban đầu là sai, tức là tồn tại ít nhất một số trong 2022 số đã cho là số chẵn.