a. Ta có BH=BD, nên tam giác BHD cân tại B. Vì vậy, ta có HB=HD.
Do đó, tam giác BHE cũng cân tại B.
Vì tam giác ABC vuông tại A, nên AH là đường cao của tam giác ABC.
Vậy, ta có AH ⊥ BC.
Mà HB ⊥ AB và HE ⊥ AC, nên ta có HB ⊥ HE.
Từ đó, ta có HB ⊥ (BHE).
Vậy, ta có A là trung điểm của PE.

b. Ta có BH=BD và QH=QE.
Vì tam giác BHD cân tại B, nên ta có HB=HD.
Vì tam giác BHE cân tại B, nên ta có HB=HE.
Do đó, ta có HB=HD=HE.
Vậy, tam giác BHD và tam giác BHE là tam giác đều.
Vậy, ta có BD=HD=HE=EQ.
Mà PQ ⊥ BD và PQ ⊥ EQ, nên ta có PQ ⊥ (BDE).
Vậy, ta có PQ ⊥ DE.
Vậy, ta có PQ=1/2 DE.

c. Ta có BH=BD và QH=QE.
Vì tam giác BHD cân tại B, nên ta có HB=HD.
Vì tam giác BHE cân tại B, nên ta có HB=HE.
Do đó, ta có HB=HD=HE.
Vậy, tam giác BHD và tam giác BHE là tam giác đều.
Vậy, ta có BD=HD=HE=EQ.
Mà QH=QE, nên ta có QH=EQ.
Vậy, tam giác QHE là tam giác cân.
Vậy, ta có BQ=AH.