Tam giác AHB = tam giác AHC

a) Ta có AB=AC và AH là phân giác góc BAC, nên tam giác AHB và tam giác AHC có cạnh AB và AC bằng nhau (cạnh chung) và góc AHB và góc AHC bằng nhau (góc phân giác). Do đó, tam giác AHB = tam giác AHC.

b) Ta có AH là phân giác góc BAC, nên góc BAH = góc CAH. Vì AB=AC, nên tam giác ABH và tam giác ACH là tam giác cân. Một tam giác cân có phân giác góc đỉnh vuông góc với cạnh đáy, nên AH vuông góc với BC.

c) Ta có AH vuông góc với BC (theo b). Khi đó, H là trung điểm BC nếu và chỉ nếu AH là đường cao của tam giác ABC. Vì AB=AC, nên AH cũng là đường cao của tam giác ABC. Do đó, H là trung điểm BC.

d) Ta có CF vuông góc với DE (theo định nghĩa). Gọi I là giao điểm của CF và DE. Ta cần chứng minh B, D, G thẳng hàng, tức là BG đi qua I.

Theo định nghĩa, CF vuông góc với DE tại E. Vì FC=FG, nên tam giác FCG là tam giác cân. Một tam giác cân có đường cao đi qua trung điểm của cạnh đáy, nên EI là đường cao của tam giác FCG.

Do đó, I là trung điểm của CF và EG. Mà CF vuông góc với DE, nên EG cũng vuông góc với DE. Vậy, tam giác EGD là tam giác vuông tại G.

Từ đó, ta có CF vuông góc với DE và EG vuông góc với DE, nên CF // EG. Do đó, tam giác FCG và tam giác EGD là hai tam giác đồng dạng (có hai góc vuông và góc giữa chúng bằng nhau).

Vì FG=FC, nên tam giác FCG và tam giác EGD cũng có cạnh FC và EG bằng nhau (cạnh chung). Do đó, tam giác FCG = tam giác EGD.

Vậy, ta có tam giác FCG = tam giác EGD = tam giác EGB (do EG // BC và BG là đường cao của tam giác EGD), nên B, D, G thẳng hàng.