Cho hình vuông ABCD, gọi E là điểm bất kì trên cạnh BC, tia AE cắt DC tại M

1. Chứng minh: B * C ^ 2 = BN.CM và BM vuông góc với CN.

Ta có:
- Từ hai tam giác BNE và CME, ta có: BN/NE = BM/ME (do đường thẳng BM cắt đường thẳng NE theo định lý Menelaus), suy ra BN.BM = NE.ME.
- Từ hai tam giác BNC và CMA, ta có: BN/NC = BM/MA (do đường thẳng BM cắt đường thẳng NC theo định lý Menelaus), suy ra BN.BM = NC.MA.
- Từ hai biểu thức trên, ta có: BN.BM = NE.ME = NC.MA.
- Áp dụng định lý Ptolemy trong tứ giác ABNE, ta có: BN.BM + NE.BA = BE.BN.
- Áp dụng định lý Ptolemy trong tứ giác ADNC, ta có: NC.MA + ND.CA = CD.NC.
- Từ hai biểu thức trên và BN.BM = NC.MA, ta có: NE.BA = BE.BN và ND.CA = CD.NC.
- Từ NE.BA = BE.BN và ND.CA = CD.NC, suy ra NE/CD = BE/CA và ND/BA = CD/BE.
- Áp dụng định lý Menelaus trong tam giác AED với đường thẳng BMN, ta có: NE/CD * CD/DA * AM/ME = 1.
- Áp dụng định lý Menelaus trong tam giác AED với đường thẳng BNC, ta có: ND/BA * BA/AE * EC/ND = 1.
- Từ NE/CD = BE/CA và ND/BA = CD/BE, suy ra NE/CD * CD/DA * AM/ME = ND/BA * BA/AE * EC/ND.
- Từ đó, ta có: AM/ME = EC/ND.
- Áp dụng định lý Menelaus trong tam giác AED với đường thẳng BNC, ta có: ND/BA * BA/AE * EC/ND = 1.
- Từ ND/BA = CD/BE, suy ra ND/BA * BA/AE * EC/ND = CD/BE * BA/AE * EC/ND = CD/BE * EC/BE = CD/BE.
- Từ đó, ta có: CD/BE = 1, suy ra CD = BE.
- Vậy, ta có: B * C ^ 2 = BN.CM và BM vuông góc với CN.

2. Gọi Q là hình chiếu của I trên BC. Ta cần tính AKO.

Ta có:
- Gọi H là giao điểm của BM và CN.
- Ta có: AH // BC (do AB // CD và AH cắt AB và CD tại các điểm A và H).
- Vì AH // BC, nên tam giác AHO và ABC tương đồng.
- Từ đó, ta có: AO/AH = AB/AC = AD/AN (do tam giác ABC và ACD tương đồng).
- Vậy, ta có: AO/AD = AH/AN.
- Áp dụng định lý Menelaus trong tam giác AED với đường thẳng BNC, ta có: ND/BA * BA/AE * EC/ND = 1.
- Từ ND/BA = CD/BE, suy ra ND/BA * BA/AE * EC/ND = CD/BE * BA/AE * EC/ND = CD/BE * EC/BE = CD/BE.
- Từ đó, ta có: CD/BE = 1, suy ra CD = BE.
- Vậy, ta có: B * C ^ 2 = BN.CM và BM vuông góc với CN.

3. Để chu vi tam giác BKC lớn nhất, ta cần tìm vị trí của E trên cạnh BC sao cho BM và CN càng dài càng tốt.

- Khi E trùng với B, ta có BM = BC và CN = 0, vì vậy chu vi tam giác BKC là lớn nhất.
- Vậy, để chu vi tam giác BKC lớn nhất, ta cần đặt E trùng với B trên cạnh BC.