Cho đường tròn (O), đường kính BC = 2R (R không đổi). Lấy điểm A thuộc đường tròn (O) (A khác B, C), kẻ AH vuông góc với BC tại H. Vẽ đường tròn (I) đường kính AH cắt AB, AC thứ tự tại M, N..

a) Ta có AM = AN = AH (do I là trung điểm của AH) và AMIN là hình chữ nhật (do AH vuông góc với BC và IM song song với BC). Do đó, MN = AI = AH.

b) Ta có ∠MBC = ∠MAC = ∠MAN = ∠MNC, nên tứ giác BMNC nội tiếp.

c) Ta có ∠HAD = ∠HCD = 90° (do AH vuông góc với BC và AD là đường kính của (O)), nên A, H, D, C cùng thuộc một đường tròn.
Gọi K' là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác BMNC. Ta có HK' song song với BC (do K' là trung điểm của HD) và HK' = 1/2 HD = 1/2 AD = R (do AD là đường kính của (O)).
Vậy K' cũng chính là trung điểm của AH, nên K' = K.
Do đó, K là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác BMNC.

Để tìm vị trí của điểm A trên đường tròn (O) sao cho đường tròn ngoại tiếp tứ giác BMNC có bán kính lớn nhất, ta cần đặt A sao cho đường tròn (I) có bán kính lớn nhất. Khi đó, A sẽ nằm trên đường tròn (O) và cách B, C một khoảng bằng 2R.