A) Ta có:
- Tam giác ABC vuông tại A nên \( \angle BAC = 90^\circ \).
- \( HD = HA \) nên tam giác AHD cân tại H.
- Do đó, \( \angle HAD = \angle HDA = \frac{1}{2} \angle AHD = \frac{1}{2} \angle BAC = 45^\circ \).
- Từ đó, \( \angle AHD = 90^\circ - \angle HAD = 45^\circ \).
- Vì vậy, tam giác AHD là tam giác vuông cân tại H.

Xét tam giác BEC:
- Ta có \( \angle BEC = 90^\circ \) (vì \( DE \perp BC \)).
- \( \angle EBC = \angle EBD + \angle DBC = \angle HAD + \angle BAC = 45^\circ + 45^\circ = 90^\circ \).
- Do đó, tam giác BEC là tam giác vuông tại E.

Xét tam giác ADC:
- Ta có \( \angle ADC = 90^\circ \) (vì \( HD \perp AC \)).
- \( \angle CAD = \angle HAD = 45^\circ \).
- Do đó, tam giác ADC là tam giác vuông tại D.

Vậy, tam giác BEC và tam giác ADC đồng dạng.

B) Ta có tam giác vuông cân AHD nên \( \frac{HA}{AD} = \frac{AD}{HD} \).
Do đó, \( AD^2 = HA \cdot HD \).
\( AD = \sqrt{HA \cdot HD} = \sqrt{AB \cdot AC} \) (vì tam giác ABC vuông tại A).
\( AE = AC - EC = AC - AD = AC - \sqrt{AB \cdot AC} \).
\( \frac{BE}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{AC - \sqrt{AB \cdot AC}}{AC} = 1 - \sqrt{\frac{AB}{AC}} \).

Vậy, tỉ số \( \frac{BE}{AB} = 1 - \sqrt{\frac{AB}{AC}} \).