Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x^3 + y^3 + 2x^2y^2 khi x + y = 1, ta sẽ sử dụng phương pháp đạo hàm.

Đặt f(x) = x^3 + (1-x)^3 + 2x^2(1-x)^2

Đạo hàm của f(x) theo x:
f'(x) = 3x^2 - 3(1-x)^2 + 2(2x(1-x)^2 - x^2(2(1-x)))
= 3x^2 - 3(1-x)^2 + 4x(1-x)^2 - 2x^2(1-x)
= 3x^2 - 3(1-x)^2 + 4x(1-x)^2 - 2x^2 + 2x^3
= 3x^2 - 3(1-2x+x^2) + 4x(1-2x+x^2) - 2x^2 + 2x^3
= 3x^2 - 3 + 6x - 3x^2 + 4x - 8x^2 + 4x^3 - 2x^2 + 2x^3
= 4x^3 - 10x^2 + 10x - 3

Để tìm giá trị nhỏ nhất của f(x), ta giải phương trình f'(x) = 0:
4x^3 - 10x^2 + 10x - 3 = 0

Ta có thể sử dụng phương pháp giải phương trình bậc ba để tìm nghiệm của phương trình trên, hoặc sử dụng phương pháp đồ thị để xác định giá trị nhỏ nhất của f(x).

Sau khi tìm được giá trị nhỏ nhất của f(x), ta sẽ thay giá trị này vào biểu thức P = x^3 + y^3 + 2x^2y^2 để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P.