Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến MA, MB và cát tuyến MCD với đường tròn (O)

a) Ta có:
$\widehat{MAI} = \widehat{MDI}$ (cùng chắn cung MD trên đường tròn (O))
$\widehat{MOI} = \widehat{MCI}$ (cùng chắn cung MC trên đường tròn (O))
$\widehat{MDI} = \widehat{MCI}$ (hai tiếp tuyến MD và MC)
Do đó, tứ giác MAOI nội tiếp và tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác MAOI chính là trung điểm của MI.

b) Ta có:
$\widehat{MIE} = \widehat{MIA}$ (cùng chắn cung MA trên đường tròn (O))
$\widehat{MIA} = \widehat{MOA}$ (cùng chắn cung MA trên đường tròn (O))
$\widehat{MOA} = \widehat{MIB}$ (cùng chắn cung MB trên đường tròn (O))
$\widehat{MIB} = \widehat{MIE}$ (hai tiếp tuyến MB và MA)
Do đó, ta có $\triangle MIE \sim \triangle MOA$ và $\triangle MIE \sim \triangle MIB$.
Từ đó, ta suy ra $MB^2 = ME \cdot MI$.

c) Ta có:
$\widehat{DCH} = \widehat{MCH}$ (hai tia MD và MC là tiếp tuyến của đường tròn (O))
$\widehat{MCH} = \widehat{MOK}$ (cùng chắn cung MC trên đường tròn (O))
$\widehat{MOK} = \widehat{MCK}$ (tia MO là tiếp tuyến của đường tròn (O))
Do đó, CK là tia phân giác của góc DCH.

Vậy, ta đã chứng minh được các phần a), b), c).