Cho đường tròn tâm O bán kính r đường kính AB

a, Ta có:
- Tứ giác IKEB là tứ giác điều hòa vì I là trung điểm của đường tròn nên IE = IB.
- Tứ giác AIEP là tứ giác điều hòa vì AI vuông góc với d nên AE // IP.

Vậy tứ giác IKEB và AIEP là tứ giác nội tiếp.

b, Ta có:
- Ta có IE = IB = r (bán kính đường tròn).
- Do tứ giác IKEB nội tiếp nên góc IKB = góc IEB.
- Góc IEB = góc AEP (cùng chắn cung AE trên đường tròn).
- Góc IKB = góc AEP = 90 độ (do d vuông góc với AB).
- Vậy tứ giác IKEB vuông tại K.
- Ta có BE = 2r (đường kính đường tròn).
- Do tứ giác IKEB vuông tại K nên theo định lý Pythagore trong tam giác vuông, ta có: BK^2 + KE^2 = BE^2.
- BK^2 + (r + r)^2 = (2r)^2.
- BK^2 + 4r^2 = 4r^2.
- BK^2 = 0.
- Vậy BK = 0, tức là BK vuông góc với AP.
- Ta có BP = 2BK = 2 * 0 = 0.
- Vậy BE x BP = 3r.

c, Ta có:
- Gọi H là giao điểm của AB với đường tròn tâm O bán kính r, ta có AH = BH = r.
- Do đó, HK vuông góc với AB tại H.
- Vậy ba điểm B, K, H thẳng hàng.

d, Ta có:
- Gọi D là trung điểm của PK, ta cần chứng minh DH là tiếp tuyến của đường tròn (O).
- Ta có DH // AB (do D là trung điểm của PK và PK vuông góc với AB).
- Vậy DH là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại điểm H.