b, Ta có:
Góc PTI = Góc NPS (do PT là tia phân giác của góc NPM)
Góc TQI = Góc NQS (do TQ là tia phân giác của góc NQM)
Vậy để chứng minh góc PTI = góc TQI, ta cần chứng minh góc NPS = góc NQS.

Ta có:
Góc NPS = Góc MPS (do NP // QS)
Góc NQS = Góc MQS (do NP // QS)
Vậy để chứng minh góc NPS = góc NQS, ta cần chứng minh góc MPS = góc MQS.

Nhưng góc MPS = góc MQS (do MP cắt nửa đường tròn tại S, nên góc MPS = góc MQS)
Vậy góc PTI = góc TQI.

c, Ta có:
K là trung điểm của IT nên IK = KT.
Ta có góc KSM = góc KIM (do KM // IS)
Vậy ta có tam giác KIM đồng dạng với tam giác KSM (có cạnh chung IK và KS, góc KIM = góc KSM)
Do đó, ta có KS = KM.

Ta có góc KOM = góc KIM (do OK // IS)
Vậy ta có tam giác KIM đồng dạng với tam giác KOM (có cạnh chung IK và OK, góc KIM = góc KOM)
Do đó, ta có góc OKM = góc KMO = 90 độ.
Vậy OK vuông góc với SM.