a) Chứng minh: tứ giác BFEC nội tiếp và CH.CF = CE.CA:

• Vì BF và CE là đường cao của tam giác ABC, nên BF và CE vuông góc với AB và AC, tương tự CF và BE vuông góc với AC và AB.
• Do đó, tứ giác BFEC là tứ giác nội tiếp do có 4 góc nội tiếp.
• Ta có thể sử dụng tỷ lệ đường cao trong tam giác để chứng minh CH.CF = CE.CA.

b) Qua E kẻ đường thẳng vuông góc với OC và cắt cạnh BC tại D. Chứng minh tứ giác AEDB nội tiếp. Từ đó suy ra 3 điểm A, H, D thẳng hàng:

• Vì OE vuông góc với OC tại E nên DE cũng vuông góc với OC tại E.
• Vì BF và CE là đường cao của tam giác ABC, nên AD là đường cao của tam giác ADE.
• Từ đó, ta có tứ giác AEDB là tứ giác nội tiếp, vì góc ADB và AEB cùng nằm trên cùng một dây của đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
• Do đó, 3 điểm A, H, D thẳng hàng.

c) Đường thẳng DE cắt đường tròn (O) tại M (E nằm giữa D và M). Đường tròn (BFEC) cắt đoạn AH tại K. Gọi L là điểm đối xứng của K qua C. Chứng minh: AMKL vuông.

• Ta chứng minh AMKL là hình thoi.
• Do KL là đường trung trực của BFEC và cắt AH tại K và L, và KL song song với BC nên ta có AK = AL.
• Vì BF và CE là đường cao của tam giác ABC nên BF = CE, từ đó ta suy ra KL = AK = AL.
• Ta có thể chứng minh AMKL là hình thoi bằng cách chứng minh KM vuông góc với AL.
• Từ đó suy ra AMKL là hình thoi và AM vuông góc với KL.