Gọi các số trong dãy là a, b, c, d, e. Ta có thể biểu diễn các số này dưới dạng lũy thừa của 2 và 3, tức là a = 2^x1 * 3^y1, b = 2^x2 * 3^y2, c = 2^x3 * 3^y3, d = 2^x4 * 3^y4, e = 2^x5 * 3^y5.

Vì mỗi số trong dãy không có ước nguyên tố nào khác là 2 và 3, nên ta có thể giả sử rằng x1 < x2 < x3 < x4 < x5 và y1 < y2 < y3 < y4 < y5.

Giả sử rằng không tồn tại hai số trong dãy có tích là số chính phương, tức là không tồn tại hai số i, j sao cho i < j và a_i * a_j là số chính phương.

Ta sẽ chứng minh rằng điều này dẫn đến mâu thuẫn. Xét tích của hai số bất kỳ trong dãy:

a * b = 2^(x1+x2) * 3^(y1+y2)
a * c = 2^(x1+x3) * 3^(y1+y3)
a * d = 2^(x1+x4) * 3^(y1+y4)
a * e = 2^(x1+x5) * 3^(y1+y5)
b * c = 2^(x2+x3) * 3^(y2+y3)
b * d = 2^(x2+x4) * 3^(y2+y4)
b * e = 2^(x2+x5) * 3^(y2+y5)
c * d = 2^(x3+x4) * 3^(y3+y4)
c * e = 2^(x3+x5) * 3^(y3+y5)
d * e = 2^(x4+x5) * 3^(y4+y5)

Nếu không tồn tại hai số trong dãy có tích là số chính phương, thì tất cả các tích trên đều không phải là số chính phương. Tuy nhiên, nếu ta xem xét các mũ của 2 trong các tích trên, ta thấy rằng có ít nhất hai tích có mũ của 2 giống nhau (do x1 < x2 < x3 < x4 < x5). Tương tự, ta cũng thấy rằng có ít nhất hai tích có mũ của 3 giống nhau (do y1 < y2 < y3 < y4 < y5).

Vậy, theo nguyên lý ngăn cản Pigeonhole, ta kết luận rằng tồn tại hai số trong dãy có tích là số chính phương. Điều này mâu thuẫn với giả thiết ban đầu, suy ra giả thiết đó là sai và bài toán đã được chứng minh.