Để \(A = \frac{n-2}{n+1}\) có giá trị nguyên, ta cần tìm \(n\) sao cho \(n-2\) chia hết cho \(n+1\).

Ta biết rằng:

\[A = \frac{n-2}{n+1} = \frac{n+1-3}{n+1} = 1 - \frac{3}{n+1}\]

Để \(A\) là số nguyên, thì \(\frac{3}{n+1}\) cũng cần là số nguyên, tức là \(n+1\) phải là ước của 3. Các ước của 3 là \(\pm1\), \(\pm3\). Do đó, \(n+1\) có thể nhận các giá trị sau:

1. \(n+1 = 3\) \(\Rightarrow n = 2\)
2. \(n+1 = -1\) \(\Rightarrow n = -2\) (loại vì \(n+1 > 0\) để mẫu số không bằng 0)
3. \(n+1 = 1\) \(\Rightarrow n = 0\) (không thỏa mãn vì khi đó mẫu số bằng 0)

Vậy, chỉ có \(n = 2\) là giá trị nguyên thỏa mãn yêu cầu đề bài cho \(A = \frac{n-2}{n+1}\) là một số nguyên.