a) Ta có: \( \angle MAC = \angle MBC \) vì cả hai đều là góc nội tiếp cùng một dây \( MC \).

b) Ta có thể sử dụng định lí tam giác vuông để chứng minh rằng \( M, H, D, E \) cùng thuộc một đường tròn. Vì tam giác \( ABD \) và \( ABC \) là tam giác vuông tại \( A \) và \( B \) nên \( AD \) là đường cao của tam giác \( ABD \) và \( BM \) là đường cao của tam giác \( ABC \). Do đó, \( H \) là trung điểm của \( BD \).

Vì \( \angle AMD = \angle BMD = 90^\circ \) (do \( AMD \) và \( BMD \) là tam giác vuông) nên \( M \) nằm trên đường tròn đường kính \( AD \). Tương tự, \( M \) cũng nằm trên đường tròn đường kính \( BC \). Do đó, \( M, H, D, E \) cùng thuộc một đường tròn.

c) Ta có thể chứng minh tứ giác \( AHEC \) là hình thang bằng cách chứng minh rằng \( AH = EC \).

Vì \( AD \) là đường phân giác của \( \angle BAC \), nên theo định lí phân giác, ta có \( \frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} \).
Tương tự, vì \( BM \) là đường phân giác của \( \angle ABC \), nên \( \frac{BE}{EC} = \frac{AB}{AC} \).

Từ hai phương trình trên, suy ra \( \frac{BD}{DC} = \frac{BE}{EC} \), tức là \( BD \cdot EC = BE \cdot DC \).

Nhưng \( BD = DH \) (vì \( H \) là trung điểm của \( BD \)), và \( DC = EC \) (vì \( D \) là trung điểm của \( BC \)), nên \( DH \cdot EC = BE \cdot DC \), từ đó suy ra \( AH = EC \).

Vậy tứ giác \( AHEC \) là hình thang.