Ta sẽ chứng minh các phần theo yêu cầu:

a. AD là đường cao của tam giác ABC:

• Vì tam giác ABC vuông tại A, nên AD là đường cao của tam giác ABC.
• Điều này suy ra từ tính chất của tam giác vuông.

b. DE là tiếp tuyến của đường tròn (O):

• Gọi I là giao điểm của tia OH và đường tròn (O).
• Ta có OH là đường trung tuyến của tam giác OAD (vì O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác OAD).
• Do đó, góc AOH bằng góc DOH.
• Xét tam giác AEO và tam giác DEO:
  • EO là cạnh chung.
  • OA = OD (vì OA và OD là bán kính của đường tròn (O)).
  • Vậy tam giác AEO đồng dạng với tam giác DEO (c.g.c).
  • Từ đó, góc EAO bằng góc EDO (do chúng là 2 góc tương ứng).
  • Vì góc EAO là góc vuông (EO là đường cao của tam giác ABC), nên góc EDO cũng là góc vuông.
  • D điểm chung của ED và đường tròn (O), nên DE là tiếp tuyến của đường tròn (O).

c. Tứ giác OHDK là hình chữ nhật:

• Ta đã biết OH là đường trung tuyến của tam giác OAD.
• DK = KC (vì DC là dây của đường tròn (O)).
• Do đó, OK ⊥ DC và OH ⊥ AD.
• Tứ giác OHDK có 4 góc vuông, nên nó là hình chữ nhật.

d. Tia DI là tia phân giác của góc NDC:

• Ta đã biết góc ODI = góc OID (vì tam giác ODI cân tại O).
• Góc ODI + góc IDN = 90° (vì góc ODI là góc vuông).
• Tương tự, góc OID + góc IDK = 90°.
• Từ đó, góc IDN = góc IDK.
• Vậy DI là tia phân giác của góc NDC.

Như vậy, ta đã chứng minh được các phần yêu cầu.